Мне дали задачу, где у меня есть сферически-симметричный потенциал (точная форма, я думаю, не имеет отношения к этому вопросу - но в любом случае это 0 для и везде), и меня попросили найти энергию основного состояния. Примечание. На самом деле я могу решить проблему, но сначала предположил, что . Теперь, когда я думаю об этом, я просто сделал предположение вслепую, и мне нужно обоснование для него.
Всегда ли верно, что основное состояние любой сферически-симметричной потенциальной функции имеет нулевой орбитальный угловой момент? [Случай атома водорода, кажется, выпадает из алгебры, и физическое объяснение, которое работает в целом, было бы намного лучше]
Вот документ с доказательством того, что основное состояние должно быть l = 0 для сферически-симметричных потенциалов для одной частицы, при условии, что существует связанное состояние. Абстрактный:
С помощью вариационного принципа показано, что волновая функция основного состояния одночастичного уравнения Шрёдингера с вещественным потенциалом действительна, не меняет знака и невырождена. Как следствие, если гамильтониан инвариантен относительно вращений и преобразований четности, основное состояние должно иметь положительную четность и нулевой угловой момент.
По сути,
Можно доказать, что основное состояние должно быть реальным и неотрицательным везде, при условии существования связанного состояния и нулевого спина. Аргумент в статье абстрактный, но идея состоит в том, что после преобразования волновой функции в произведение амплитудных и фазовых факторов, которые могут меняться в зависимости от положения, после вычисления частей потенциальной и кинетической энергии ожидаемого значения , единственная часть энергии, которая зависит от фазы, - это член кинетической энергии, который минимизируется, делая фазу постоянной. Если фаза постоянна, волновую функцию можно считать реальной и она не может менять знак.
Отсюда можно доказать, что основное состояние уникально. В принципе, если бы это было не так, то была бы вторая волновая функция основного состояния (которая также не может менять знак), но они не могут быть ортогональными, поскольку вы не можете интегрировать произведение двух реальных не меняющих знак волновые функции и получить ноль.
Сферическая симметрия гамильтониана требует, чтобы при наличии состояние с энергией, должно быть также состояние с той же энергией, поэтому единственная возможность состоит в том, чтобы иметь .
(Сказав это, статья цитирует эту статью , в которой говорится, что если у нас есть набор из двух частиц с сильной спин-орбитальной связью между ними, общий гамильтониан может иметь сферическую симметрию, но система будет иметь спонтанное нарушение симметрии и в конечном итоге с .)
Рассмотрим (по крайней мере, возмущенный) вклад дополнительного эффективного «потенциала» в радиальном уравнении, когда , проанализируйте его знак и судите соответственно.
Физическое объяснение простое - это дополнительная кинетическая энергия вращательного движения.
пользователь4552