Основное состояние составных и невзаимодействующих бозонов на решетке

Фон

Рассмотрим систему решеток, описываемую гамильтонианом

ЧАС "=" − Дж ∑ ⟨ я Дж ⟩ ( Δ я † Δ Дж + час . с . )
где Δ я , Δ я † уничтожить и создать частицу на месте я соответственно, и Дж — амплитуда перескока, в данном случае с участием только ближайших соседей. Сейчас если Δ я , Δ я † являются элементарными бозонными операторами, этот гамильтониан описывает модель Бозе-Хаббарда в пределе невзаимодействия, а основное состояние, если нет нарушения сверхтекучей симметрии, представляет собой конденсат Бозе-Эйнштейна, который получается путем записи уровней энергии одной частицы в импульсном пространстве ε к "=" − 2 Дж с о с ( к ) и массово занимая самое низкое состояние в к "=" 0 со всеми Н частицы: | г . С . ⟩ "=" ( Δ к "=" 0 † ) Н | 0 ⟩ , где | 0 ⟩ это вакуум. Чтобы записать основное состояние в терминах реальных пространственных состояний Фока, мы можем использовать тот факт, что Δ к "=" 0 † "=" ∑ я Δ я † , и мы получаем линейную комбинацию, включающую множество состояний, включая состояния Фока, в которых присутствует более одной частицы на узел.

Первый вопрос

Здесь можно просто дать очень быстрый ответ: правда ли, что симметрия не нарушена, или нет?

Второй вопрос

Это реальный вопрос: независимо от того, нарушена симметрия или нет, основное состояние всегда будет содержать фоковские состояния с более чем одной частицей в каждом узле решетки. Итак, что, если теперь частицы представляют собой составные бозоны, состоящие из двух фермионов в синглетном спиновом состоянии? Более конкретно, если Δ я † "=" с я ↑ † с я ↓ † , где с я о † удовлетворяют фермионным правилам антикоммутации, у вас не может быть более одного бозона на сайте из-за запрета Паули на фермионы! Итак, можете ли вы явно написать основное состояние в этом случае?

Мои мысли

Я думаю, что принцип Паули вводит ограничение на гильбертово пространство: гильбертово пространство с ограничениями содержит только фоковские состояния с 0 или 1 бозон на сайт. Но все же меня смущает тот факт, что по сути эти составные частицы, видимо, вообще не конденсируются...

Есть довольно много предыдущих вопросов по БЭК составных бозонов, см., например, physics.stackexchange.com/questions/455538/… physics.stackexchange.com/questions/602741/… physics.stackexchange.com/questions/546836/… и ссылки в нем

Ответы (1)

Первый вопрос Нарушена ли симметрия в БЭК-состоянии?

Это тонкий момент, и, вероятно, не совсем то, что вы хотите знать. Дело в том, что операторы фазы и числа канонически сопряжены. В обычном смысле симметрия нарушается, когда имеется определенное математическое ожидание фазы (относительно стандартной эталонной фазы), т. е. фаза является параметром порядка. Однако, если мы точно знаем, сколько бозонов в системе, система находится в собственном состоянии числового оператора, а это означает, что фаза максимально неопределенна.

Более полезный вопрос: существует ли дальний порядок в состоянии БЭК? И да. (В этом контексте его обычно называют внедиагональным дальним порядком.)

Это отсутствие нарушенной симметрии в строгом смысле подчеркивалось и подчеркивается, в частности, Леггетом, см., например, https://doi.org/10.1007/BF01883640 . Еще одно хорошее лечение можно найти в недавней книге Тасаки https://doi.org/10.1007/978-3-030-41265-4 .

Второй вопрос. Каково БЭК-состояние составных фермионов?

Это волновая функция БКШ.

| Б С С ⟩ "=" ∏ к ( ты к + в к с ^ к † с ^ − к † ) | ⟩

где ты к и в к комплексные коэффициенты, удовлетворяющие | ты к | 2 + | в к | 2 "=" 1 для каждого к .

На первый взгляд, это несколько отличается от простого помещения всех бозонов (куперовских пар) в одно и то же к "=" 0 состояние. Но есть и другая, более полезная точка зрения:

Свободные бозоны невзаимодействующей модели Боуза-Хаббарда максимально делокализованы. Куперовские пары в БКШ-состоянии также максимально делокализованы для фермионов, для которых действует принцип запрета Паули. Они все обнимаются к "=" 0 насколько это возможно (что, возможно, не так уж и много, все действие происходит на уровне Ферми порядка 1 эВ или 10000 К).

Но конкретные к -ценности оккупированных государств не так важны. Фактически, для многих вычислений мы можем рассматривать состояние БКШ как собственное состояние оператора уничтожения куперовской пары, т.е.

с ^ к с ^ − к | Б С С ⟩ "=" | Б С С ⟩ для любого к .

Это означает, что из конденсата можно по желанию удалять (и, следовательно, добавлять) пары. Как это может быть? Поскольку количество состояний с импульсом точно к становится мерой нуля. Это просто очень хорошее и полезное приближение. В этом приближении количество пар в БКШ-состоянии не определено, а фаза получает определенное математическое ожидание. Это состояние нарушенной симметрии. В сверхпроводимости (а также в сверхтекучих средах) это имеет большой смысл, поскольку мы можем вытягивать бозоны/пары из нормального состояния в двухжидкостной модели.

Другое понимание состоит в том, что состояние БКШ — это состояние БЭК, макроскопически занятое бозонами. б ^ † , где

б ^ † "=" ∑ к ( в к / ты к ) с ^ к † с ^ − к †

Таким образом, эти бозоны не имеют определенного собственного значения импульса, но состояние хорошо определено. См., например, книгу Пирса Коулмана: https://doi.org/10.1017/CBO9781139020916 .

Еще одним хорошим справочником по этой точке зрения является книга Аннетта: https://global.oup.com/academic/product/superconductivity-superfluids-and-конденсаты-9780198507550

Чтобы быть немного придирчивым, я думаю, что волновая функция БКШ действительна только для очень слабых взаимодействий между фермионами, которые не связывают их в составные бозоны. Тем не менее, он по-прежнему показывает базовую структуру того, как вы можете получить что-то, что сгущается, не нарушая исключение Паули.
Я знаю, что это старый пост, но где я могу узнать больше об этом приближении «состояния БКШ как собственного состояния пары Купера»? Я задавал вопрос об этом несколько месяцев назад ( здесь ), но пока не получил ответа. Я был бы признателен, если бы вы могли ответить на него.
@LucasBaldo Вы читали ответы, связанные комментарием к вопросу выше ? Вы не можете доказать, что состояние БКШ является собственным состоянием оператора уничтожения, потому что это не так в строгом смысле. В конце концов все сводится к аппроксимации N ~ N + 1 для очень больших N. Но аппроксимация состояния БКШ как когерентного состояния очень хороша и дает вам доступ ко всем механизмам нарушения симметрии.
Спасибо. Да, я читал эти ответы, но ни один из них, похоже, не упоминает, что BCS является собственным состоянием. Я понимаю, что БКШ является собственным состоянием только в некотором приближенном, а не в строгом смысле. Однако я не очень понимаю приближение, которое необходимо сделать. В своем комментарии вы говорите, что это связано с тем, что N очень велико. Однако для того, чтобы состояние BCS имело четко определенную фазу, оно не может иметь четко определенного N, поэтому мне не имеет смысла говорить, что N очень велико. С другой стороны, если мы рассматриваем состояние БКШ хорошо определенного N, то фаза не является четко определенной.
Другими словами, я хотел бы вывести это приближенное уравнение математически, но пока не могу этого сделать. Вы знаете источники, где я могу найти этот вывод?
Основное состояние составных и невзаимодействующих бозонов на решетке
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v