Почему у нас нет частиц, волновые функции которых симметричны относительно одного оператора обмена и антисимметричны относительно другого оператора обмена?

Невозможно иметь состояние с четырьмя неразличимыми частицами, такое, что$P_{12} \psi = -\psi$и$P_{34} \psi =\psi$, по алгебраической причине. А именно, операторы обмена должны формировать представление группы перестановок$S_4$. Достаточно хорошо известно, что существует ровно два представления$S_n$: тривиальное представление, в котором все операторы обмена$1$, и представление четности, где все одиночные транспозиции представлены$-1$и это расширяется групповым законом.

Таким образом, либо все$P_{nm} = 1$или все$P_{nm} = -1$. Все остальное просто не согласуется с алгеброй перестановок.

Волновая функция — это нормализованный вектор (или луч) в гильбертовом пространстве векторных состояний (я буду предполагать конечные степени свободы, поэтому C*-алгебру системы можно считать равной$B(H)$, с$H$ан$L^2(\mathbb R^n)$космос). Спин дает правило суперотбора, и поэтому должны быть сектора суперотбора. Из общей теории следует, что векторные состояния из разных секторов нельзя комбинировать, чтобы получить другое векторное состояние, а только статистическую смесь. Итак, волновая функция либо бозонная, либо фермионная. Для описания состояния со смешанными частицами нужны более общие линейные функционалы, которые объединяются в виде выпуклой комбинации состояний из секторов суперотбора.