Система различимых фермионов

Я начал читать системы многих частиц в квантовой механике и наткнулся на концепцию идентичных частиц против различимых частиц.

Однако мне интересно, что происходит в случае набора различимых фермионов. Есть ли у них какие-то особые правила, такие как принцип запрета Паули для идентичных фермионов, которые нам нужно иметь в виду при заполнении этих частиц?

Скажем, у нас есть 5 различимых фермионов одинаковой массы в 1 Д гармонический осциллятор. Поскольку частицы различимы, мы можем использовать разделение переменных, чтобы разделить волновые функции для 5 фермионы.

Предположим, что система находится в основном состоянии. Следовательно 5 различимые фермионы также должны находиться в соответствующих им основных состояниях. Однако, поскольку все они имеют одинаковую массу, у них будет один и тот же уровень энергии в основном состоянии. Таким образом, в системе мы имеем энергетический уровень, который имеет 5 различимые фермионы в основном состоянии.

Разве здесь не фермионы, ведущие себя как идентичные бозоны в том же потенциале? Верна ли моя интуиция, или фермионы не заполняют свои основные состояния таким образом? Если бы они были идентичными, этого бы не произошло, так как это нарушило бы принцип исключения. Однако действует ли принцип запрета даже в случае различимых фермионов.

С точки зрения энергетического уровня различимые фермионы, по-видимому, ведут себя точно так же, как и любые различимые частицы. Единственная разница заключается в волновых функциях, так как теперь мы должны учитывать и спиновые состояния. Однако, с точки зрения энергетического уровня, прав ли я, говоря, что одинаковые бозоны, различимые частицы и различимые фермионы одной и той же массы имеют одинаковые значения энергии для разных состояний и отличаются только их волновые функции?

Я не знаю каких-либо различимых фермионов с одинаковой массой. Является ли массовое равенство требованием? Если нет, вы призываете взглянуть на мюонные атомы или дейтрон.

Ответы (1)

Ваша интуиция верна.

Рассмотрим систему с фиксированным числом Н нерелятивистских частиц, все фермионы. Игнорируя спин для простоты, волновая функция такой системы является функцией Н точки в пространстве:

(1) ψ ( Икс 1 , Икс 2 , . . . , Икс Н ) .
Если Дж й и к частицы одного вида, то волновая функция должна удовлетворять
(2) ψ ( Икс π ( 1 ) , Икс π ( 2 ) , . . . , Икс π ( Н ) ) "=" − ψ ( Икс 1 , Икс 2 , . . . , Икс Н )
для перестановки π который обменивает Дж ↔ к и оставляет остальные точки без изменений. Если Дж й и к й частицы не одного и того же вида, то такая (анти)симметрия не требуется. В частности, если у нас есть 5 частицы ( Н "=" 5 ) всех разных видов, то волновая функция вообще не должна иметь никакой (анти) симметрии. Тот факт, что все частицы являются фермионами, в этом случае не имеет значения. Ничего не изменилось бы, если бы они были бозонами — в строго нерелятивистской и бесспиновой модели, которую мы используем здесь для простоты. (В релятивистской модели мы не можем игнорировать спин, а количество частиц обычно плохо определено, но я не буду здесь вдаваться в эти сложности.)

Мы можем рассматривать все значения Н одновременно используя формализм операторов рождения/уничтожения. Все еще игнорируя спин для простоты, мы можем описать систему строго нерелятивистских фермионов, используя К разные операторы создания а к † ( Икс ) для каждого Икс , с к е { 1 , 2 , . . . , К } , где К это количество различных видов. Если | 0 ⟩ состояние без частиц, то

(3) ∫ Икс , Икс ′ ψ ( Икс , Икс ′ ) а 1 † ( Икс ) а 1 † ( Икс ′ ) | 0 ⟩
является примером состояния с двумя частицами одного вида, и
(4) ∫ Икс , Икс ′ ψ ( Икс , Икс ′ ) а 1 † ( Икс ) а 2 † ( Икс ′ ) | 0 ⟩
является примером состояния с двумя частицами разных видов. Утверждение, что все частицы являются фермионами, может быть выражено математически требованием, чтобы все операторы рождения антикоммутировали друг с другом:
(5) а Дж † ( Икс ) а к † ( Икс ′ ) "=" − а к † ( Икс ′ ) а Дж † ( Икс ) .
Для частиц одного вида ( Дж "=" к ), отсюда сразу следует принцип запрета Паули: только антисимметричная часть ψ имеет значение в (3), потому что знак минус в (5) исключает любой вклад симметричной части. Это следует из того, что в (3) перестановка индексов аналогична перестановке точек. Но для частиц разных видов ( Дж ≠ к ), это уже неверно, и знак минус в (5) в этом случае не имеет значения. В самом деле, знак минус в (5) можно убрать, если Дж ≠ к с помощью преобразования Клейна .

Большое спасибо. Тем не менее, я задавался вопросом о спиновой части. Если мы проигнорируем эту спиновую часть, волновая функция для различимых фермионов должна выглядеть так же, как и для любых различимых частиц. Спиновые волновые функции имеют здесь значение. Однако для различимых фермионов будет ли спиновая волновая функция антисимметричной?
Например, предположим, что в одномерной яме есть два фермиона, один со спином вверх и один со спином вниз. Таким образом, они различимы, и их пространственная волновая функция будет просто произведением обеих отдельных пространственных волновых функций. Однако я читал, что спин будет синглетным состоянием. Интересно, почему это так. Это было сделано здесь: ссылка
@NakshatraGangopadhay Пусть м е { вверх вниз } . Для двух фермионов со спином 1/2 одного вида волновая функция должна удовлетворять ψ ( Икс , м , Икс ′ , м ′ ) "=" − ψ ( Икс ′ , м ′ , Икс , м ) . Если м ≠ м ′ , то функция ψ ( Икс , м , Икс ′ , м ′ ) и ψ ( Икс ′ , м , Икс , м ′ ) не должны быть связаны друг с другом каким-либо особым образом. Но если гамильтониан таков, что состояние с наименьшей энергией симметрично относительно Икс ↔ Икс ′ , то он должен быть антисимметричным относительно м ↔ м ′ (то есть должно быть синглетным состоянием).
Система различимых фермионов
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v