Почти одинаковые фермионы борются за одно и то же состояние

Краткий ответ: «почти идентичные» частицы либо действительно идентичны, либо не идентичны все для целей квантовой статистики. Квантовой статистике все равно, если ваша частица имеет все те же свойства, что и электрон, за исключением массы.$1.000000000000001 m_e$: это считается частицей, отличимой от любого электрона. Вы можете возразить, что это дает нам возможность экспериментально различать массы и т. д. с произвольной точностью, и вы будете правы: это действительно позволяет. Исключение составляют случаи, когда природа стремится максимально усложнить нам жизнь, постоянно запутывая частицы и их доппельгангеры таким образом, что переходы в основное состояние практически невозможны. Нет никаких оснований верить этому, и ничего подобного не наблюдалось. Общая ситуация, даже для очень похожих частиц, включает быстрые переходы без блокировки Паули.

Длинный ответ:

Квантовая статистика — это особый вид правил запутанности и «сверхотбора», которые говорят следующее: единственными состояниями, которые являются частью гильбертова пространства системы, являются те, которые полностью (анти)симметричны при обмене двумя идентичными частицами. Чтобы это имело какую-либо силу, частицы должны быть действительно идентичными, а не просто «почти» идентичными, что бы это ни значило.

На самом деле это является автоматическим следствием формализма квантовой теории поля, который является более фундаментальным и где требуемая обменная (анти)симметрия совершенно очевидна и очевидна. Но чтобы рассмотреть возможность того, что природа может быть каким-то другим образом, я буду работать в формализме, где правильный ответ не очевиден и не очевиден: обычная квантовая механика многих тел. Здесь мы имеем волновую функцию многих тел.$\psi(r_1, r_2, r_3,\cdots,r_N)$описывающее фиксированное число частиц заданных типов, которые могут подчиняться или не подчиняться каким-либо свойствам симметрии.

Теперь давайте представим систему из двух электронов с волновой функцией$\psi(r_1, r_2)$. Статистика Ферми говорит нам, что$\psi(r_1, r_2)=-\psi(r_2,r_1)$. Произвольная функция двух координат не годится, хотя для любого$f(r_1,r_2)$мы можем сделать действительное состояние с помощью$\psi \sim f(r_1,r_2)-f(r_2,r_1)$. Симметричная часть$f(r_1,r_2)+f(r_2,r_1)$не является допустимым состоянием. Итак, что мы делаем, так это разлагаем гильбертово пространство всех двух волновых функций частиц на две части:$\mathcal{H}_2=\mathcal{H}_- \oplus \mathcal{H}_+$и отрезаем симметричную часть$\mathcal{H}_+$, определяя физическое гильбертово пространство как$\mathcal{H}_{phys}=\mathcal{H}_-$. Для$\geq 3$В системах частиц мы отсекаем и все состояния со смешанной симметрией, оставляя только полностью антисимметричное подпространство. Важные положения, такие как$\psi(r_1,r_2)=\chi(r_1)\chi(r_2)$не существуют, потому что они не антисимметричны и их нельзя сделать антисимметричными. Дело не в том, что такие состояния просто недоступны, их просто не существует.

Вот ключевой момент: это возможно только для действительно идентичных частиц . Я имею в виду, что обменная симметрия действительно должна быть симметрией : все операторы обмена частицами должны коммутировать с гамильтонианом! В противном случае эволюция во времени, начинающаяся с антисимметричного состояния, породила бы нефизические состояния смешанной симметрии. Это показывает, что фермионы/бозоны должны быть идентичными частицами во всех отношениях. Обратное доказательство, т. е. то, что одинаковые частицы должны быть либо бозонами, либо фермионами, является следствием того факта, что два состояния, различающиеся обменной операцией, физически неразличимы и, следовательно, должны соответствовать одному и тому же лучу в физическом гильбертовом пространстве. Таким образом, обмены переводят луч в себя, т.е. изменяют состояние не более чем на фазовый множитель$\exp(i\phi)$, а единственными представлениями группы подстановок в качестве фазовых множителей являются тривиальное (симметричное) представление (т. е. бозоны) и$\mathbb{Z}_2$(антисимметричное) представление (т.е. фермионы).

Теперь давайте посмотрим на вашу ситуацию. Представьте, что у нас есть система электрона и двойника, с$\psi(r_1; r_2)$где первый аргумент относится к электрону, а второй к двойнику. Теперь у государства нет причин подчиняться какому-либо свойству симметрии. Конечно, вы можете создать антисимметричное состояние, но вы также можете создать симметричное состояние, и эволюция во времени не сохраняет какой-либо конкретной симметрии. Даже если вы практически не можете различить их в своем детекторе$\psi(r_1; r_2)$и$\psi(r_2; r_1)$являются физически разными состояниями, следовательно, они являются ортогональными лучами в гильбертовом пространстве. Так что предыдущий аргумент разваливается. Гильбертово пространство по-прежнему разбивается на более мелкие представления группы подстановок, но гамильтониан не сохраняет подпространства: он порождает эволюцию между ними. Если обменная симметрия почти хорошая, то эволюция между подпространствами будет медленнее, чем эволюция внутри подпространств.

Важно, чтобы основные состояния$\chi_{e,d}$для электрона и двойника позволяют сделать$\chi_e(r_1)\chi_d(r_2)$,$\chi_e(r_2)\chi_d(r_1)$,$\chi_e(r_1)\chi_d(r_2)+\chi_e(r_2)\chi_d(r_1)$а может даже$\chi_e(r_1)\chi_d(r_2)-\chi_e(r_2)\chi_d(r_1)$! (Антисимметричная комбинация могла бы не существовать, если бы волновые функции основного состояния$\chi_e = \chi_d$, что имеет место для бесконечной ямы, но не для общего потенциала. Вы можете подумать, что эта волновая функция численно мала, если функции$\chi_e \approx \chi_d$, но вы всегда нормализуете многие состояния тела, так что это не проблема. Дело в том, что это не всегда тождественно ноль.) Таким образом, нет никаких препятствий для того, чтобы система перешла в основное состояние. Более того, поскольку свойства электрона и двойника очень похожи, скорости перехода из возбужденных состояний в основное состояние будут одинаковыми для двух частиц. Поэтому переход происходит быстро. Блокировки Паули нет. Может потребоваться много времени, чтобы характер симметрии состояния существенно изменился (поскольку разница в массах невелика), но это не имеет значения, поскольку система может попасть в любую комбинацию состояний.$\chi_e(r_1)\chi_d(r_2)$и$\chi_e(r_2)\chi_d(r_1)$.

Единственным исключением является случай, когда природа сговорилась всегда создавать состояния в подпространстве симметрии, не включающем основное состояние, и в этом случае вам придется ждать, пока состояние не эволюционирует в другое подпространство симметрии, что может занять некоторое время. Но это заговор, для которого нет веской причины. В частности, это зависит от формы волновых функций основного состояния для электрона и доппельгангера, которые можно спроектировать разными, поэтому всегда можно разработать новый эксперимент, если тот, который вы пробовали, не работает достаточно быстро.