Откуда берется этот вектор поляризации?

Имея дело с векторными полями в своей книге КТП, Шварц описывает классическое поле в терминах базиса, который я не знаю, как он получает.

Он впервые вводит лагранжиан Прока

Тогда уравнения движения$(\Box + m^2)A_\mu = 0$и$\partial^\mu A_\mu = 0$.

Затем он говорит:

Найдем теперь явные решения уравнений движения. Начнем с преобразования Фурье наших классических полей. С$(\Box+m^2)A_\mu=0$, любое решение можно записать в виде

$$A_\mu(x)=\sum_i \int \dfrac{d^3 p}{(2\pi)^3}\tilde{a}_i(p)\epsilon^i_\mu(p) e^{ipx}, \quad p_0=\omega_p=\sqrt{|\mathbf{p}|^2+m^2}$$

для некоторых базисных векторов$\epsilon^i_\mu(p)$. Например, мы могли бы тривиально взять$i=1,2,3,4$и использовать четыре вектора$\epsilon^i_\mu(p)=\delta^i_\mu$в этом разложении. Вместо этого нам нужна основа, которая заставляет$A_\mu$автоматически удовлетворять также его уравнению движения$\partial^\mu A_\mu=0$. Это произойдет, если$p^\mu \epsilon_\mu^i(p) =0$. Для любого фиксированного$4$-импульс$p^\mu$с$p^2=m^2$, есть три независимых решения этого уравнения, заданные тремя$4$-векторы$\epsilon_\mu^i(p)$, обязательно$p^\mu$зависимые, которые мы называем векторами поляризации. Таким образом, нам остается только суммировать$i=1,2,3$. Обычно мы нормируем поляризации$\epsilon_\mu^\ast \epsilon^\mu =-1$.

Я вообще этого не понимаю. Используя преобразование Фурье$\Box A_\mu + m^2 A_\mu = 0$и обозначающий$\hat{A}_\mu$преобразование Фурье, которое мы имеем

Это делается путем трехмерного преобразования Фурье, получая уравнение$\partial_t^2\hat{A}+\omega_p^2 \hat{A}=0$, понимая, что$\hat{A}_\mu= a_\mu(p) e^{-i\omega_p t}+b_\mu(p) e^{i\omega_p t}$и, наконец, используя условие, что$A_\mu$реально, так что$b_\mu(p)=a_\mu^\ast(-p)$что приводит непосредственно к приведенной выше формуле.

Здесь нет$\epsilon^i_\mu(p)$в любом месте. Я также не понимаю, почему это должно быть. Сумма в любом случае имеет только два члена.

Так что мне действительно чего-то здесь не хватает. Как правильно получить этот результат?