Амплитуда состояния и ковариация оператора поля в КТП

Мне не очень нравится обозначение с использованием$u'(x')$потому что это приводит к большой путанице. Давайте немного отвлечемся и напишем все по-другому.

У нас есть пространственно-временной коллектор$M$векторпространство$V$и поле, которое в основном представляет собой карту$u: M \rightarrow V$. Теперь я буду использовать активную точку зрения. У нас есть сейчас$M = \mathbb{R}^4$, но я пишу$M$так как мне лень писать все время этот жирный шрифт$\mathbb{R}$.

Наши поля — это представления группы Лоренца, индуцированные представлениями группы Лоренца на$M$и дальше$V$. Мы хотим понять это сейчас лучше.

Позволять$\omega$быть элементом Lorentz-Group. Тогда мы получим карту$\Lambda(\omega): M \rightarrow M, x \mapsto \Lambda(\omega)x$где$\Lambda(\omega)$обозначает только матрицу в фундаментальном представлении. В векторном пространстве у нас также есть представление, например, спинорное представление или векторное представление, которое мы обозначаем$A(\omega): V \rightarrow V, v \mapsto A(\omega)v$. Теперь давайте позвоним на мгновение$F = \{u: M \rightarrow V\}$пространство поля. Затем мы получаем представление группы Лоренца на$F$к:

Это можно сделать немного более ясным на диаграмме:

где мы непосредственно видим, что$u' = A(\omega) \circ u \circ \Lambda(\omega)^{-1}$.

На данном этапе$u'$это функция на$M$и если мы назовем элемент om$M$где$u'$оценивается в$x \in M$, мы пишем$u'(x)$. Я думаю, что проблема проясняется, если подумать о$u'$таким образом.

У нас теперь по строчкам книги Боголюбова$u'(x) = U^{-1}(\omega) u(x) U(x)$с$x \in M$и все, что определено выше.

Теперь в качестве небольшой проверки правильности этой аргументации вычислим инфинитезимальный генератор, порождающий преобразования на$F$. Ограничимся теперь переводами (хорошо, это Пуанкаре, а я до сих пор писал Лоренца, но это не имеет значения), так как это проще.

Переводы$\mathbb{R}^4$действующий на$\mathbb{R}$для$a \in \mathbb{R}^4$как$\Lambda(a): \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^4, x \mapsto x+a$. Они действуют банально$V$, т.е.$A(a) = id.$. Следовательно, у нас есть$B(a): F \rightarrow F, u \mapsto u \cong \Lambda(a)^{-1} = u(\cdot - a)$. Следовательно, для$x \in M$у нас есть в вышеуказанной номенклатуре$u'(x) = u(x-a) = e^{-i p a}$с$p a = a^\mu \partial_\mu$. Это воспроизводит результат формулы (9.19) и формулы непосредственно выше (по модулю знака, поскольку я выбрал активную точку зрения).

Теперь что с этим$x'$плавает вокруг? Обычно, если физик пишет в книге$x'$он всегда имеет в виду карту$x' = \Lambda(\omega)$то есть$x'(x) = \Lambda(\omega)^{-1} x$. Если физик пишет$u'(x')$обычно первый штрих обозначает карту$A(\omega)$действующий на$u(x'(x))$и$x'$обозначает карту, как я объяснял ранее. Если физик пишет$u'(x)$простое означает, что$u' = A(\omega) \circ u \circ x'$то есть$u'(x) = A(\omega) u(x'(x))$.

Я предлагаю вам пройти по этой ссылке. Но вкратце: если вы преобразуете и координаты, и поле одновременно, вы получите одно и то же поле.$u'(x') = u(x)$. Если вы хотите изучить влияние преобразования на динамику системы, вам следует подумать об изменении координат (пассивное преобразование) или поля (активное преобразование). В данном случае книга выбирает второе.