Понимание инстантонов в чистой теории Янга-Миллса

Да, инстантон — это классическое решение евклидовых уравнений движения с конечным действием. Его топологический заряд определяется выражением$k = \frac{1}{8\pi}\int \mathrm{tr}(F\wedge F)$который является интегралом расходимости тока Черна-Саймонса .

Возможно множество различных инстантонов. Общий инстантон для$\mathrm{SU}(2)$а топологический заряд 1 задается инстантоном BPST

$$A_\mu^a(x) = \frac{2}{g}\frac{\eta_{\mu\nu}^a(x-x_0)^\nu}{(x -x_0)^2 - \rho ^2}$$ где $x_0$является «центром» инстантона и $\rho$его масштаб, также называемый радиусом. $\eta$является символом 't Hooft .

Большой класс инстантонов топологического заряда$k$можно описать следующим образом: преобразование инстантона BPST с помощью сингулярного преобразования$x^\mu \mapsto \frac{x^\mu}{x^2}$приводит к выражению

$$A_\mu^a(x) = -\eta_{\mu\nu}^a \partial^\nu\left(\ln\left(1+\frac{\rho^2}{(x-x_0)^2}\right)\right)$$ для преобразованного инстантона, и теперь делается более общий анзац $$A_\mu^a(x) = -\eta_{\mu\nu}^a \partial^\nu\left(\ln\left(1+\sum_{l=1}^k \frac{\rho_l^2}{(x-x_{0,l})^2}\right)\right)$$ что приводит к инстантонному решению топологического заряда $k$. Эту конструкцию можно обобщить на другие неабелевы калибровочные группы.

Общая конструкция всех инстантонов на четырехмерных пространствах-временах калибровочной группы$\mathrm{SU}(N)$дается инстантоном ADHM , см. также оригинальную статью «Построение инстантонов» Атьи, Дринфельда, Хитчина и Манина.