Откуда берутся волновые функции частицы и античастицы в уравнении Клейна-Гордона?

В моем учебнике (Сакураи) дано, что

( Д мю Д мю + м 2 ) Ψ ( Икс , т ) "=" 0

где Д мю "=" ∂ мю + я е А мю является ковариантной производной.

В нем говорится, что, поскольку это дифференциальное уравнение второго порядка, мы должны указать волновую функцию в ее начальный момент времени, а также ее первую производную. В качестве альтернативы мы можем свести уравнение КГ второго порядка к двум уравнениям первого порядка и интерпретировать результат с точки зрения знака электрического заряда.

Мы можем использовать это Д мю Д мю "=" Д т 2 − Д → 2 чтобы получить две новые функции

ф ( Икс , т ) "=" 1 2 ( Ψ ( Икс , т ) + я м Д т Ψ ( Икс , т ) )
х ( Икс , т ) "=" 1 2 ( Ψ ( Икс , т ) − я м Д т Ψ ( Икс , т ) )

но откуда возникают эти две функции? Как вы получаете их из этой информации?

Ответы (1)

Два уравнения, которые вы написали внизу, являются просто определениями ф и х . В этом месте аргумента Сакураи у них нет физической интерпретации. Физическая интерпретация появляется позже, когда он переписывает плотность «вероятности» Клейна-Гордона в их терминах (см. 8.1.20).

Существует стандартный способ превратить дифференциальное уравнение более высокого порядка в систему уравнений первого порядка. Например, если мы дадим Д т Ψ ( Икс , т ) новое имя, Π ( Икс , т ) ,

Д т Ψ ≡ − я м Π

то уравнение Клейна-Гордона становится системой первого порядка по двум функциям Ψ , Π

Д т Π "=" я м ( Д → 2 − м 2 ) Ψ

Подставить определение Π чтобы получить исходное уравнение Клейна-Гордона.

Теперь вместо степеней свободы Ψ , Π вместо этого мы можем определить две независимые линейные комбинации:

ф ≡ 1 2 ( Ψ + Π ) х ≡ 1 2 ( Ψ − Π )
Затем складывая и вычитая первые два уравнения, мы получаем уравнения первого порядка для ф и х вместо этого (см. 8.1.16 или попробуйте сами).

Откуда берутся волновые функции частицы и античастицы в уравнении Клейна-Гордона?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v