Пределы, используемые для нахождения неотносительного предела уравнения Клейна-Гордона

У меня просто вопрос по поводу оценки нерелятивистского предела уравнения Клейна-Гордона. В книге, которой я следую ( «Квантовая механика» Брансдена и Джоахейна), они используют пределы (глава 15.1, стр. 681);

| д ф | ≪ м с 2 | ℏ 2 м с 2 г ф г т | ≪ | ф | | ℏ 2 2 м с 2 д 2 Ψ г т 2 | ≪ | ℏ г Ψ г т |

чтобы исследовать нерелятивистский предел уравнения КГ для бесспиновой частицы, заряд д в электромагнитном поле, заданном А и ф . Мой вопрос: как мы узнаем, что можем использовать эти ограничения? Я согласен со всеми остальными шагами вывода и уравнением Шредингера, но не могу понять, откуда берутся эти ограничения, поскольку они просто приведены в книге без объяснения.

Я не знаком с КТП, а также с тензорной нотацией, но могу взять энергию приблизительно. равна массе покоя и в ≪ с . Я также не очень много знаю об электромагнетизме и, следовательно, изо всех сил пытаюсь понять, как возникают эти ограничения. Любая помощь очень ценится, спасибо!

Общее замечание: Для связи между Schr. экв. и уравнение Клейна-Гордона, см., например, A. Zee, QFT in a Nutshell, Chap. III.5 и этот пост Phys.SE плюс ссылки в нем.
@Qmechanic Извините, я должен был упомянуть, что подхожу к этому с точки зрения до QFT, поскольку я действительно проверил этот пост, прежде чем спрашивать, и не могу слишком много понять! Меня устраивает соотношение между двумя уравнениями, просто я не понимаю, почему мы можем принимать эти ограничения.

Ответы (1)

  • | д ф | ≪ м с 2 означает, что масса покоя частицы намного больше, чем электростатическая потенциальная энергия. Это обычное предположение нерелятивистской механики, которое эквивалентно в ≪ с . Вы можете увидеть это с помощью теоремы вириала:

    1 2 м в 2 ∼ д ф
    Который означает, что д ф ≪ м с 2 если в ≪ с .

  • ℏ 2 м с 2 г ф г т ≪ ф является ограничением на потенциальную энергию: она не может меняться очень быстро во времени, потому что в противном случае электромагнитное излучение преобладало бы над электростатическим полем. Лимит ℏ 2 м с 2 г ф г т ≪ ф говорит не о скорости частиц, а о поле, которое они ощущают. Если вы пишете

    ф ∼ В 0 е я ю т
    вы обнаружите, что ℏ 2 м с 2 г ф г т ≪ ф эквивалентно ℏ ю ≪ 2 м с 2 . Это опять означает, что энергия излучения («энергия фотонов») мала по сравнению с массой покоя частицы.

  • ℏ 2 2 м с 2 д 2 Ψ г т 2 ≪ ℏ г Ψ г т снова означает, что кинетическая энергия электронов мала по сравнению с их массой покоя. Если вы пишете

    Ψ ∼ Ψ 0 е − я ( Е т − п Икс ) / ℏ
    ты увидишь это ℏ 2 2 м с 2 г 2 Ψ г т 2 ≪ ℏ г Ψ г т эквивалентно Е ≪ 2 м с 2 .

Спасибо, это именно то, что я искал и питч именно на нужном мне уровне для понимания!
@ellaf Я рад, что смог помочь :-) если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать.
Второй момент касается не излучения, а рождения пары частица-античастица. Если ю > 2 м с 2 , у ЭМ поля достаточно энергии для создания пар (здесь важен множитель 2)
@ Адам, то, что вы говорите, по сути то же самое, что я сказал в своем ответе: если энергия фотонов достаточно высока, они могут вызвать образование пар. Но, строго говоря, в этом контексте следует говорить не о рождении пар (ОП спрашивает о «до-КТП»: см. комментарии выше), а о нелинейных электромагнитных эффектах.
Вы не говорите этого в своем ответе: «иначе электромагнитное излучение преобладало бы над электростатическим полем» и «ничего не говорит о частицах», тогда как образование пар имеет непосредственное отношение к частицам. И не потому, что ОП спрашивает о предварительном QFT, ответ должен быть тоже ... когда эффект явно исходит от QM + SR, что является QFT ...
@ Адам, я согласен: я не использовал правильные слова для того, что хотел сказать. Состояние ℏ ю ≪ 2 м с 2 речь идет о частицах. Я хотел сказать, что дело не в скорости частиц, т. е. не в в ≪ с . Отредактировано. (но учтите, что QM+SR — это вовсе не QFT!)
Конечно :) Жестко, я бы все равно обсудил парное производство (я уверен, что ОП слышал об этом раньше).
Пределы, используемые для нахождения неотносительного предела уравнения Клейна-Гордона
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v