Откуда мы знаем, что движение частицы в центральном силовом поле лежит на плоскости?

КАРТИННЫЙ ОТВЕТ

На рисунке мы видим 4 положения$\;\rm P_1,P_2,P_3,P_4\;$движущейся частицы с векторами положения$\;\mathbf{r_1},\mathbf{r_2},\mathbf{r_3},\mathbf{r_4}$. Под действием центральной силы вектор углового момента$\;\mathbf{L}=\mathbf{r}\boldsymbol{\times}m\mathbf{v}\;$постоянно. Векторы$\;\mathbf{r},\mathbf{v}\;$– положение и вектор скорости частицы в произвольный момент времени.

Так

Итак, все точки$\;\rm P_\jmath\;$, все векторы положения$\;\mathbf{r_\jmath}\;$и, следовательно, все векторы скорости$\;\mathbf{v_\jmath}\;$лежат на плоскости, перпендикулярной$\;\mathbf{L}\;$и у нас есть плоское движение.

Если сила, действующая на объект, является радиальной,$\mathbf{F}\parallel\mathbf{r}$поэтому угловой момент$\mathbf{L}=\mathbf{r}\times\mathbf{p}$имеет исчезающую производную по времени, сумму двух перекрестных произведений параллельных векторов, а именно.$\mathbf{v}\times\mathbf{p}+\mathbf{r}\times\mathbf{F}$. Именно ортогональность к этому сохраняющемуся угловому моменту завершает доказательство.

Интересно, что это не имеет ничего общего с 3D и перекрестным произведением как таковым: мы можем определить угловой момент$L^{ij}:=x^ip^j-x^jp^i$в произвольном пространственном измерении$d$, и утверждение заголовка OP остается верным.

Это следует только из того факта, что центральная сила дает уравнения движения$\dot{\bf x} \parallel {\bf p}$и$\dot{\bf p} \parallel {\bf x}$(что, в свою очередь, означает, что угловой момент$L^{ij}$сохраняется). Определять$\pi$быть плоскостью / линией / точкой (через начало координат), на которую натянуты начальное положение и векторы импульса. Вывести (из уравнений движения$\dot{\bf x} \parallel {\bf p}$и$\dot{\bf p} \parallel {\bf x}$) что точечная масса по-прежнему ограничена этой плоскостью/линии/точкой$\pi$за все время$t$.$\Box$