Откуда появляется знак минус в метрическом тензоре?

Пытаясь понять AFCIGR Шютца, откуда появляется знак минус в метрическом тензоре?

метрика

Я понимаю, что это выражает инвариантность пространственно-временного интервала. Шютц говорит (я думаю), что метрика является (0,2) тензором. Я предполагаю, что это означает, что это произведение двух одноформ, так что предположительно одна из этих одноформ имеет -ve компонент времени. Что это значит? Почему обе одноформенные формы не имеют компонент времени -ve? Глядя на диаграмму Минковского, какой простой способ понять/визуализировать эти формы? На моем уровне две вещи были перемножены вместе, чтобы получить матрицу 4x4 с -1 в верхнем левом углу. Что это за две вещи и почему они дают временную составляющую -1?

Комментарий к вопросу (v1): Обратите внимание, что вообще (и фактически также в упомянутом конкретном случае) ( 0 , 2 ) тензор не всегда является произведением ковекторов. Вместо этого это сумма произведений ко-векторов. (В конкретном случае сумма содержит не менее 4 условия.) На самом деле, то же самое верно, если − 1 был + 1 .

Ответы (2)

Метрика представляет собой симметричную билинейную форму

д с 2 "=" η я Дж д Икс я д Икс Дж "=" − д т 2 + д Икс 2 + д у 2 + д г 2
Следовательно, знак минус не является свойством одноформ. д Икс я а из коэффициентов η я Дж

Спасибо за это, но я все еще не понимаю, откуда берется знак минус.
@ user4075: Я не уверен, что понимаю, что вы имеете в виду под «откуда берется знак минус». В СТО пространство-время представляет собой плоское пространство с метрикой сигнатуры (-+++), более или менее по определению. Конечно, есть и другие способы сказать то же самое, например, группа изометрии - это SO (3,1), но я не думаю, что это отвечает на ваш вопрос, не так ли?
Олаф: Я рад признать, что здесь я не в своей тарелке (например, я не знаю, что такое «симметричная билинейная форма», и я все еще борюсь с одноформами). Я предположил (ошибочно - спасибо Qmechanic), что тензор (0,2) всегда является произведением двух одномерных форм, и поэтому предположил, что это может объяснить, почему в метрике есть знак минус. В Википедии (Введение в специальную теорию относительности) говорится: «Минковский... обнаружил, что правильная формула на самом деле довольно проста и отличается от теоремы Пифагора только знаком». Так что я предполагаю, что он просто обнаружил, что это сработало.

Хотя можно думать о метрике как о бесконечно малых расстояниях, ее также можно рассматривать двояко, как о дифференциальных уравнениях. Таким образом, с вашим соглашением о знаках для метрики волновое уравнение имеет вид

г я Дж ∂ 2 ф ( Икс ) ∂ Икс я ∂ Икс Дж "=" − ∂ 2 ф ( Икс ) ∂ т ∂ т + ∂ 2 ф ( Икс ) ∂ Икс ∂ Икс + ∂ 2 ф ( Икс ) ∂ у ∂ у + ∂ 2 ф ( Икс ) ∂ г ∂ г "=" 0.
В этом POV метрика определяет дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют поля, введенные в пространство-время. Уравнение Лапласа имеет совсем другие свойства, чем волновое уравнение.

Существуют формализмы, в которых d т заменяется идентификатором т , так что метрика может быть равномерно положительной. Однако большинство людей держат это как математический трюк в рукаве, а не как фундаментальную часть построения теории. В развитии ОТО был период, когда мнимое время использовалось гораздо чаще, чем сейчас.

Откуда появляется знак минус в метрическом тензоре?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v