О выводе четырехимпульса Ландау-Лифшица

TL;DR: Знак минус исходит из правил Минковского.

1. Ссылка 1 использует только соглашение о подписи Минковского.$(+, -, -, -)$, но мы покажем оба соглашения для справки/ясности. Давайте также положим$c=1$для простоты. Ссылка 1 определяет метрический тензор

   $$g_{\mu\nu}~=~{\rm diag} (\mp 1, \pm 1, \pm 1, \pm 1) ,\tag{6.5}$$ в$4$-скорость $$u^{\mu}~:=~\frac{dx^{\mu}}{d\tau}~=~\gamma\frac{dx^{\mu}}{dt}, \qquad \frac{dx^{\mu}}{dt}~=~(1,{\bf v}), \tag{7.1/2}$$ $$\frac{d\tau}{dt}~=~\frac{1}{\gamma} ~=~\sqrt{ \mp g_{\mu\nu}\frac{dx^{\mu}}{dt}\frac{dx^{\nu}}{dt} } ~=~\sqrt{1-v^2}, \tag{7.1b}$$ функционал действия вне оболочки $$\begin{align} S[x]~=~&\int_{t_i}^{t_f} \! dt~ L\cr ~=~& -m_0\int_{\lambda_i}^{\lambda_f} \! d\lambda~\sqrt{ \mp g_{\mu\nu}\frac{dx^{\mu}}{d\lambda}\frac{dx^{\nu}}{d\lambda} }\cr ~=~&-m_0 \Delta \tau, \cr \Delta \tau~:=~&\tau_f-\tau_i,\end{align}\tag{8.1}$$ и лагранжиан $$L~=~-\frac{m_0}{\gamma}. \tag{8.2}$$ Отметим, что общая нормировка лагранжиана (8.2) не произвольна, а следует из необходимости воспроизвести правильную нерелятивистскую формулу $$L~=~\frac{1}{2}m_0v^2 -(\text{rest energy})+ {\cal O}(v^4)\qquad\text{for}\qquad v~:=~|{\bf v}|~\ll~ 1.$$

2. Ссылка 1 делается вывод, что функция действия Дирихле на оболочке$S(x_f,x_i)$удовлетворяет

   $$\begin{align} \delta S ~\stackrel{(8.1)}{=}~~~& \pm m_0\int_{\lambda_i}^{\lambda_f} \! d\lambda~\frac{g_{\mu\nu}\frac{dx^{\mu}}{d\lambda}\frac{d\delta x^{\nu}}{d\lambda}}{\sqrt{ \mp g_{\rho\sigma}\frac{dx^{\rho}}{d\lambda}\frac{dx^{\sigma}}{d\lambda} }}\cr ~=~~~~&\pm m_0\int_{t_i}^{t_f} \! dt~u_{\mu}\frac{d\delta x^{\mu}}{dt} \cr ~\stackrel{\text{int. by parts}}{=}& \pm m_0 \left[ u_{\mu} ~ \delta x^{\mu}\right]_{t=t_i}^{t=t_f} ~\mp m_0\int_{t_i}^{t_f} \! dt~\underbrace{\frac{du_{\mu}}{dt}}_{\text{EOM}}~ \delta x^{\mu} \tag{9.10} \cr ~\stackrel{\text{EOM}}{\approx}~~&\pm m_0 \left( u_{\mu}^f ~ \delta x^{\mu}_f - u_{\mu}^i ~\delta x^{\mu}_i\right), \tag{9.11} \cr u_{\mu}~:=~~~~&g_{\mu\nu} u^{\nu}, \end{align}$$ ср. например, мои ответы Phys.SE здесь и здесь . [Здесь$\approx$символ означает равенство по модулю EOM. Слова «в оболочке» и «вне оболочки» относятся к тому, удовлетворены ли EOM или нет.]

3. До сих пор не было места для различных условностей. На данный момент Реф. 1 выбирает контравариант$4$-импульс быть

   $$(E,{\bf p}) ~=~p^{\mu}~=~m_0 u^{\mu}, \tag{9.13/14}$$ что означает, что ковариант$4$-импульс тогда читается $$(\mp E,\pm {\bf p}) ~=~p_{\mu}~=~m_0 u_{\mu}.$$

4. Для ур. (9.11) и (9.13/14), мы должны определить

   $${\bf p}~:=~ \frac{\partial L}{\partial {\bf v}},\tag{9.1}$$ $$p^f_{\mu}~:=~\color{red}{\pm} \frac{\partial S}{\partial x^{\mu}_f}, \tag{9.12}$$ $$p^i_{\mu}~:=~\mp \frac{\partial S}{\partial x^{\mu}_i}.$$

Использованная литература:

1. Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц, Том 2, Классическая теория поля, $\S$9.