Почему (ΛT)μν=Λνμ(ΛT)μν=Λνμ{(\Lambda^T)^\mu}_\nu = {\Lambda_\nu}^\mu?

Я следую конспектам лекций по SR. Автор пишет, что следующее эквивалентно:

(1) Λ Т η Λ "=" η ⟺ η мю ν Λ мю р Λ ν о "=" η р о .
Меня это удивляет, потому что

(2) ( Λ Т ) мю ν "=" Λ ν мю .

И поэтому я ожидал, что это будет

(3) Λ Т η Λ "=" η ⟺ η мю ν Λ р мю Λ ν о "=" η р о .
Почему это неправильно?

Я думаю, ты где-то добавил лишний флип. Просто подумайте об этом как о матрицах: А Б С "=" Д означает А я Дж Б Дж к С к ℓ "=" Д я ℓ . Поэтому А Т Б С "=" Д означает Б Дж к А Дж я С к ℓ "=" Д я ℓ где я использовал коммутативность умножения и заменил А я Дж с А Дж я . Это точно так же, как уравнение (1).
Размещение указателя наверху/внизу — отвлекающий маневр, который может только добавить путаницы; это не «настоящий» индекс, потому что Λ не является тензором.
@knzhou Своим первым комментарием я полагаю, вы подтверждаете, что тоже озадачены, верно? Переворачивать индексы — это именно то, что я предлагаю, но в конспектах лекций этого нет.

Ответы (1)

  1. Три уравнения ОП должны читать

    (1') Λ Т η Λ   "="   η ⟺ ( Λ Т ) р мю   η мю ν   Λ ν о   "="   η р о ,
    (2') ( Λ Т ) ν мю   "="   Λ мю ν ,
    (3') Λ Т η Λ   "="   η ⟺ Λ мю р   η мю ν   Λ ν о   "="   η р о .

  2. Более подробно: Пусть В быть н -размерный р -векторное пространство с базисом ( е мю ) мю "=" 1 , … , н . Позволять В * — двойственное векторное пространство с двойственным базисом ( е * ν ) ν "=" 1 , … , н . Позволять

    Λ   "="   е мю   Λ мю ν ⊗ е * ν   е   В ⊗ В *   ≅   л ( В ; В )
    быть линейной картой из В к В . Назовем положения индексов на Λ мю ν для конвенции СЗ-ЮВ см. роза компаса . Позволять
    Λ Т   "="   е * ν   ( Λ Т ) ν мю ⊗ е мю   е   В * ⊗ В   ≅   л ( В * ; В * )
    быть транспонированной линейной картой из В * к В * . Обратите внимание, что ( Λ Т ) ν мю написано в соглашении SW-NE. Позволять
    η   "="   е * мю   η мю ν ⊙ е * ν   е   С у м 2 В *   "="   В * ⊙ В *
    — (неопределенная) метрика, т. е. обратимый элемент в симметризованном тензорном произведении . ( Псевдо ) ортогональная карта Λ удовлетворяет по определению
    Λ Т η Λ   "="   η .
    См. также соответствующий пост Phys.SE.

Не было бы у вас тогда двусмысленного обозначения? Вы бы не использовали Λ мю ν для обращения к обоим Λ Т и Λ − 1 ?
@falgenint: Спасибо за отзыв. Λ мю ν по определению не относится к ( Λ Т ) мю ν во избежание двусмысленности. Скорее мы используем метрику для повышения и понижения индексов, поэтому по определению Λ мю ν   "="   η мю р   Λ р о   ( η − 1 ) о ν , который оказывается равным ( ( Λ − 1 ) Т ) мю ν если Λ является (псевдо)ортогональным.
Жаль, что я сделал ошибку. Я хотел сказать: не могли бы вы использовать Λ мю ν для обращения к обоим Λ Т и Λ − 1 ? Я имею в виду, если (используя (2')) это правильно: ( ( Λ − 1 ) Т ) мю ν "=" ( Λ − 1 ) ν мю "=" Λ мю ν следует ( ( Λ − 1 ) Т ) мю ν "=" ( ( Λ Т ) − 1 ) мю ν и из этого вы можете продемонстрировать, что Λ Λ Т "=" я с я тождественная матрица. Это верно?
Последнее уравнение неверно. При удалении индексов из тензорного уравнения следует повторно ввести/вернуть метрический тензор η в соответствующих местах.
Так что я думаю, я не могу сказать, что ( Λ − 1 ) Т "=" ( Λ Т ) − 1 хотя ( ( Λ − 1 ) Т ) мю ν "=" ( ( Λ Т ) − 1 ) мю ν ?
Да, ты можешь. Ваши два уравнения в вашем последнем комментарии верны.
Тогда если (сверху) ( Λ − 1 ) Т "=" ( Λ Т ) − 1 "=" Λ , вы можете подать заявку Λ Т в обе стороны от последнего знака равенства, и вы бы ( Λ Т ) − 1 Λ Т "=" Λ Λ Т , но первая часть - это единичная матрица... разве это не означает Λ Λ Т "=" я ?
Я ответил на это в комментарии выше.
Так, ( Λ Т ) ν мю должно быть написано в соглашении SW-NE, чтобы соответствовать способу определения транспонированной линейной карты?
Почему (ΛT)μν=Λνμ(ΛT)μν=Λνμ{(\Lambda^T)^\mu}_\nu = {\Lambda_\nu}^\mu?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v