Откуда в физике появилось определение энергии в УЧП?

Мы определили энергию в контексте волнового уравнения в моем классе PDE как

Е ( т ) "=" ∫ р н ( ты т 2 + [ ∇ Икс → ты ] 2 ) г н Икс →
Где ты удовлетворяет волновому уравнению
ты т т − Δ ты "=" 0
Это сохраняющаяся величина в системе, но мне интересно, есть ли лучшее физическое объяснение этого определения энергии.

Довольно ясно, что ты т 2 термин представляет кинетическую энергию, но у меня нет хорошей интуиции, почему другой термин должен быть потенциальной энергией. Я знаю, что это зависит от системы, но почему это имеет смысл здесь?

Ответы (1)

Что ж, при произвольном УЧП функционал энергии может не существовать. Но если он есть, то конструкция обычно укладывается в следующий шаблон:

  1. Найдите плотность Лагранжа л для ПДЭ. Это означает, что уравнение Эйлера-Лагранжа для л должен воспроизводить PDE. В случае ОП плотность лагранжиана л имеет форму л "=" 1 2 ты ˙ 2 − В ( ты , ∇ ты ) , где В ( ты , ∇ ты ) - плотность потенциальной энергии. Здесь ты ˙ и ∇ ты обозначают временные и пространственные производные соответственно.

  2. Лагранжева плотность л обычно не зависит явно от т . Тогда теорема Нётер гарантирует, что существует сохраняющаяся величина. нулевой компонент

    Дж 0   "="   ( ты ˙ ∂ ∂ ты ˙ − 1 ) л
    нётеровского тока есть плотность энергии. Соответствующий заряд Нётер Вопрос "=" ∫ г н Икс   Дж 0 – искомый функционал энергии.

Откуда в физике появилось определение энергии в УЧП?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v