Откуда в лагранжиане Прока взялся массовый член?

Есть много хороших книг, описывающих, как построить лагранжиан для электромагнитного поля в среде.

л   "="   − 1 16 π Ф мю ν Ф мю ν − 1 с Дж ν А ν

При переходе к лагранжиану Прока (и массивному фотону) я знаю, как выглядит массовый член, но я знаю, откуда он взялся.

л   "="   − 1 16 π Ф мю ν Ф мю ν − 1 с Дж ν А ν + мю 2 8 π А мю А мю

Почему А мю А мю правильный термин для включения? Я предполагаю, что он должен быть калибровочно-лоренц-инвариантным, так почему же он не был включен в исходный лагранжиан? Почему фактор мю 2 8 π нужный?

Написано в другом контексте, но обеспечивает прекрасное интуитивное знакомство с теорией Прока, особенно с массовым термином: arxiv.org/abs/physics/0608101 .

Ответы (2)

Массовый член в любом полевом лагранжиане всегда является членом, квадратичным по полям и имеющим противоположный знак относительно. кинетический термин - это имеет решающее значение .

Почему ты спрашиваешь? Ну, допустим, мы на минуту забываем о текущем термине (мы хотим посмотреть на поле А сам по себе, без токов вокруг, чтобы легко определить массу.)

Составляя уравнения поля, вы получите что-то вроде

∂ мю Ф мю ν "=" ∂ 2 А ν − ∂ мю ∂ ν А мю "=" − мю 2 А ν .
В калибровке Лоренца ∂ мю А мю "=" 0 , это еще больше упрощает
∂ 2 А ν "=" − мю 2 А ν .

Теперь есть несколько способов получить из этого уравнения, что мю следует интерпретировать как массу поля А мю . Самый интуитивный способ — через обычную квантово-механическую точку зрения, где энергия-импульс представлена ​​производной п ^ мю "=" я ∂ мю , en следовательно, при воздействии на собственное состояние энергии-импульса (т. е. плоскую волну е я к ⋅ Икс ), уравнение сводится к

п 2 А мю "=" − мю 2 А мю .

(знак мю будет варьироваться в зависимости от ваших метрических соглашений. Теперь из специальной теории относительности мы знаем, что п 2 "=" − м 2 , давая нам интерпретацию массы.

Еще более точная процедура состоит в том, чтобы проквантовать поле и записать гамильтониан в терминах операторов рождения и уничтожения, и вы найдете каждый оператор рождения, кроме обычной «кинетической энергии» ℏ ю к → , также добавляет квант по умолчанию мю к полной энергии системы, т. е. к соответствующей массовой энергии.

Если вы ненадолго задумаетесь об этом, то увидите, что то же самое произойдет с любым лагранжианом поля, имеющим квадратичный член.

PS: Обратите внимание, что если бы мы выбрали знак массы по-другому, масса вышла бы мнимой, т.е. мю 2 < 0 , что обычно сигнализирует о больших проблемах с вашей теорией поля

Нормализация на самом деле является вопросом соглашения: предфактор перед кинетическим членом выбирается для воспроизведения уравнений Максвелла с правильными предфакторами, которые де-факто определяют фактор в массовом члене.

Редактировать: Владимир делает хорошее замечание: я забыл указать, что лагранжиан Прока не является калибровочно-инвариантным (в смысле Максвелла: вы не можете произвольно добавлять термины а-ля ∂ мю ф . Попробуй это!). Однако, кажется, я припоминаю, что вы можете показать, что исходные уравнения движения Прока можно разложить на совместную систему уравнений

∂ 2 А мю "=" − мю 2 А мю , ∂ мю А мю "=" 0.
(Это не тривиально: делая это предположение, можно априори исключить более общие решения)

В дополнение к ответу Сэма я бы сказал, что для массивного поля нет требования калибровочной инвариантности. А , только ковариация Лоренца.

Почему калибровочная инвариантность не имеет значения? рассматривается как лагранжиан для электромагнитного поля, который должен быть калибровочно-инвариантным, чтобы сохранить заряд
@ user1696811: Потому что А не "калибровочное" поле, а массивное векторное поле. Сохранение «заряда» требует не только уравнений для А , но и уравнения для «заряда».
Откуда в лагранжиане Прока взялся массовый член?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v