Огромный фотон в 2+12+12+1 измерениях

Я немного читал о лагранжиане Максвелла-Черна-Саймонса , попытке создать массивный фотон в$2+1$размеры.

$$\begin{align}\mathcal{L} &= -\frac14 F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} + \frac{m}{4} \epsilon_{\sigma\mu\nu}F^{\mu\nu}A^{\sigma}\\ &= -\frac14 F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} + \frac{m}{2} \epsilon_{\sigma\mu\nu} \partial^{~\mu}A^{\nu}A^{\sigma} \end{align}$$ Действие, но не лагранжиан, калибровочно инвариантно (изменяется на полную производную). Я вывел уравнения движения, $$\begin{align} \partial_{\mu}F^{\nu\mu}-m\epsilon^{\nu\mu\sigma}\partial_{\mu}A_{\sigma}=0 \end{align}$$ Если мы объединим это с тождеством Бьянки и определим новый вектор $~f^{\mu} = \frac12\epsilon^{\mu\nu\sigma}F_{\nu\sigma}$, требуется немного алгебры, чтобы показать, $$(\partial^{~\mu}\partial_{\mu}+m^2)f^{\nu} = 0$$

Меня действительно интересует количество поляризаций, которые может иметь этот «фотон». Маленькая группа должна быть$SO(2)$верно? Итак,$J_z$должен генерировать это? Итак, одна поляризация? Интересно, есть ли хороший аргумент для этого? Может быть, что-то похожее на то, как это делается в обычном случае с использованием манометра Лоренца? Заметим, что калибровочное условие Лоренца выполняется тривиально из тождества Бьянки.