Откуда взялась формула кинетической энергии? [дубликат]

Под «уравнением кинетической энергии», я полагаю, вы имеете в виду определение

$$KE = \frac{1}{2} mv^2$$

Это действительно вытекает из теоремы о работе-энергии, которая гласит, что чистая работа, совершаемая над объектом массы$m$за некоторый интервал времени определяется выражением

$$W_{net}=\frac{1}{2}mv_f^2- \frac{1}{2} mv_i^2$$

Глядя на это уравнение, мы просто замечаем, что величина$\frac{1}{2} mv^2$кажется полезным, поэтому мы даем ей имя — кинетическая энергия — и затем формулируем теорему о работе-энергии как

$$W_{net} = \Delta(KE)= KE_f - KE_i$$

---

Чистая работа, выполненная над объектом между временами$t_i$и$t_f$является

$$W_{net} = \int_{t_i}^{t_f} \mathbf F_{net}(t) \cdot \mathbf v(t) \ dt$$ Второй закон Ньютона говорит нам, что$\mathbf F_{net} = m\mathbf a$, и так

$$W_{net} = \int_{t_i}^{t_f} \bigg(m \mathbf a(t) \cdot \mathbf v(t)\bigg) dt$$

Однако,$\mathbf a(t) = \mathbf v'(t)$, так

$$\mathbf a \cdot \mathbf v = \mathbf v' \cdot \mathbf v = \frac{1}{2} \frac{d}{dt}(\mathbf v \cdot \mathbf v) = \frac{d}{dt}\bigg(\frac{1}{2} v^2\bigg)$$ и так наконец

$$W_{net} = \int_{t_i}^{t_f} \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2} m v^2\right) dt = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2$$

ОК, вывод теоремы о работе-энергии из F=ma

Квалификация «теорема» действительно уместна.
Если мы примем второй закон Ньютона как аксиому и примем как аксиому, что пространство евклидово, то теорема о работе-энергии логически следует.

Первые два стандартных кинематических соотношения, справедливых для случая равномерного ускорения. Вывод будет использовать эти отношения:

Изменение скорости как функция времени:

$$v = v_0 + at \qquad (1)$$

Изменение положения в зависимости от времени:

$$s = s_0 + v_0t + \tfrac{1}{2}at^2 \qquad (2)$$

С учетом вышеизложенного мы можем получить выражение только в терминах производных по времени.

(1) можно переформулировать в виде (3), и тогда вы подставляете$t$в (2) с выражением для$t$из (3)

$$t = (v - v_0)/a \qquad (3)$$

Это выглядит запутанно, но оказывается, что многие термины расходятся друг с другом.
В итоге вы придёте к этой формуле:

$$a(s - s_0) = \tfrac{1}{2}v^2 - \tfrac{1}{2}v_0^2 \qquad (4)$$

Приведенное выше выражение также известно как формула Торричелли.

Вышеизложенное еще не физика; это все еще только кинематическая связь.

Комбинируя (4) и F=ma, мы получаем утверждение о динамике .

$$F \Delta s = \tfrac{1}{2}mv^2 - \tfrac{1}{2}mv_0^2$$

Напоминаем: единица силы называется «Ньютон» . Размеры:

$${\displaystyle 1\ {\text{N}}=1\ {\frac {{\text{kg}}\cdot {\text{m}}}{{\text{s}}^{2}}}.}$$

Обсуждение

Другие ответы на этот вопрос следуют следующей стратегии: определить понятие под названием «выполненная работа», а затем показать, что оно подразумевает выражение$\tfrac{1}{2}mv^2$, это выражение можно определить как «кинетическую энергию».

В динамике мы привыкли мыслить в терминах накопления во времени . Уравнение движения есть функция времени ; будущая позиция рассчитывается как функция времени

Теорема о работе-энергии не соответствует этому шаблону. Теорема о работе-энергии описывает накопление на расстоянии .

В истории физики теорема о работе-энергии была признана довольно поздно. Я думаю, что это было впервые заявлено около 1800 года или около того.

Обобщение

Использование (4), конечно, не является общим способом вывода теоремы о работе-энергии. Используемые кинематические отношения относятся к равномерному ускорению.

При ближайшем рассмотрении:
(1) и (2) тесно связаны: когда вы дифференцируете (2), вы получаете (1). Как известно, дифференцирование и интегрирование по существу являются операциями, обратными друг другу. (4) следует рассматривать как результат интегрирования.

Обобщение на более общий случай (ускорение как функция чего-то другого) не вызывает затруднений.

Вывод, представленный в этом ответе, не такой общий, каким мог бы быть. Я решил представить этот вывод, чтобы подчеркнуть: теорема о работе и энергии следует непосредственно из F=ma.

В классической механике кинетическая энергия$T$определяется как _${1 \over 2} m v^2$.

${d \over {dt}} ({1 \over 2} m v^2) = \vec F \cdot \vec v$. Так$T_2 - T_1 = {1 \over 2}mv_2^2 - {1 \over 2}mv_1^2 = \int_{t_1}^{t_2} \vec F \cdot \vec v \enspace dt$. С$\vec v \enspace dt = d \vec r$,$T_2 - T_1 = \int_{r_1}^{r_2} \vec F \cdot d \vec r$, это работа силы$\vec F$между$r_1$и$r_2$.

См. текст классической механики по физике, такой как «Механика» Саймона.

1/2 - это вопрос определения. Если бы мы заменили его каким-то другим безразмерным числом, то пришлось бы изменить и другие уравнения, например, второй закон Ньютона.

Соразмерность$m$не является произвольным определением. Нам нужна сохраняющаяся величина, а законы сохранения аддитивны. Если бы мы использовали$m^2$или что-то, у нас не было бы аддитивного количества.

Зависимость от$v^2$не произвольное определение, и на самом деле даже не правильное. Это просто наименьший неисчезающий член в ряду Тейлора релятивистского выражения.

Законы Ньютона логически эквивалентны закону сохранения энергии и импульса. Если вы начнете с одного из них, вы сможете получить другой. Любой эксперимент, устанавливающий одно, является также экспериментом, устанавливающим другое. Любой эксперимент, опровергающий одно, например эксперименты, демонстрирующие релятивистские эффекты, опровергает другое.

Работа, совершаемая силой, равна$\Delta W = \int_{x_1}^{x_2} \mathbf{F.dx}$. Когда$\mathbf F$равнодействующая сил, действующих на тело, применяется второй закон:$\mathbf F = m\mathbf a$.

Так,

$$\Delta W = \int_{x_1}^{x_2} m\mathbf {a.dx} = m\int_{x_1}^{x_2} \frac{\mathbf {dv}}{dt}\mathbf {.dx}$$

Как$\mathbf x$является функцией т,

$$\mathbf {dx} = \frac{\mathbf {dx}}{dt}dt$$

$$\Delta W = m\int_{t_1}^{t_2} \frac{\mathbf {dv}}{dt}\frac{\mathbf {dx}}{dt}dt$$

Интегрируя по частям, получаем 2 одинаковых интеграла:

$$\Delta W = m\int_{t_1}^{t_2} \frac{\mathbf {dv}}{dt}\frac{\mathbf {dx}}{dt}dt = m\left [\frac{\mathbf {dx}}{dt}\frac{\mathbf {dx}}{dt}\right]_{t_1}^{t_2} - m\int_{t_1}^{t_2} \frac{\mathbf {dv}}{dt}\frac{\mathbf {dx}}{dt}dt$$

И наконец:

$$\Delta W = \frac{1}{2}mv_ 2^2 - \frac{1}{2}mv_ 1^2$$

Формула кинетической энергии выводится из формулы проделанной работы, но формула проделанной работы не выводится из каких-либо более фундаментальных базовых формул. Это происходит из эмпирических результатов эксперимента, проведенного в 18 веке. Эксперимент заключался в том, чтобы бросать мячи на мягкую глину и измерять расстояние, с которого они были брошены, и силу удара. Эксперимент показал, что удар был пропорционален расстоянию. Поэтому они придумали формулу,$W=Fd$. Тогда, если вы хотите получить формулу кинетической энергии, вы должны объединить формулу для$W$со вторым законом Ньютона, т.е.$F=ma$и кинематика. Точный вывод выглядит следующим образом:

$$W = Fd$$ $$F=ma=m\cdot\frac{v-u}{t}$$

Если вы замените F в первом уравнении значением для второго уравнения и считаете KE (кинетическую энергию) изменением энергии, то есть работой, проделанной над объектом для достижения его скорости от начальной скорости$u$из 0 вы получаете:

$$K.E. = m\cdot\frac{v-u}{t} \cdot d = m\cdot\frac{v-u}{t} \cdot \frac{v+u}{2} \cdot t = \frac{1}{2}mv^2$$

Вот так и получается формула кинетической энергии.

Для справки: https://en.wikipedia.org/wiki/%C3%89milie_du_Ch%C3%A2telet#Advocacy_of_kinetic_energy