Как Momenergy не зависит от фрейма?

Существуют некоторые семантические разногласия по поводу значения вектора в физике (хотя концепции не оспариваются).

1) Вектор как геометрический объект или «стрелка»

Некоторые скажут вам, что мом-энергия, чаще называемая четырехимпульсом, подобна стреле в пространстве-времени с некоторой величиной и направлением (на самом деле величина равна$mc$и направление касается мировой линии, как вы указали). Когда вы меняете систему отсчета, кажется, что компоненты этого четырехвектора меняются, так как направление стрелки относительно вас, кажется, меняется. Но стрелка не изменилась ; это инвариант.

Если 4-импульс действительно является инвариантным геометрическим объектом, то он должен вести себя как таковой при преобразованиях координат. В частности, вспомните из линейной алгебры, что при замене базиса меняются и координаты векторов; на самом деле, они меняются путем умножения на величину, обратную изменению базовой матрицы. Такое поведение при изменении базиса называется контравариантностью . Контравариантные величины обозначаются надстрочными индексами.

«Система отсчета» в теории относительности — это на самом деле выбор из трех пространственноподобных направлений и времениподобного направления в качестве базисных векторов, которые вы используете для присвоения координат точкам и векторам в пространстве-времени. Измените свой фрейм, и ваша основа тоже изменится. В специальной теории относительности матрица преобразования Лоренца$\Lambda$дает изменение в основе с точки зрения угла поворота и увеличения скорости изменения кадра. Таким образом, компоненты четырехимпульса должны трансформироваться с$\Lambda^{-1}$. (*)

Если бы это было не так, то трансформационные свойства координат 4-импульса были бы несовместимы с картиной 4-импульса как инвариантной «стрелки» где-то там, в пространстве-времени. Но это так , поэтому мы можем относиться к этому таким образом. В этом смысле мы можем сказать, что 4-импульс не зависит от системы отсчета.

2) Вектор как последовательность компонентов

Другие идентифицируют векторы с их компонентами. Если я измеряю компоненты векторной величины как$(1, 2, 3, 4)$, тогда я скажу, что вектор $(1, 2, 3, 4)$, а не думать о векторе как о стрелке в пространстве-времени, компоненты которой просто совпадают. $(1, 2, 3, 4)$в какой бы ни была моя система отсчета . С этой точки зрения вектор фактически меняется , когда я меняю свою систему отсчета (в конце концов, вектор — это компоненты, а компоненты меняются).

Если мы примем этот подход, то мы наложим контравариантность как требование, чтобы набор из четырех компонентов обозначал значимую физическую величину в специальной теории относительности, а не выводил ее из инвариантной природы геометрического объекта. Теперь мы не можем сказать, что четырехимпульс действительно инвариантен или не зависит от системы отсчета. Но это контравариантно , и этого достаточно. Исчисление относительности формулируется в терминах контравариантных, инвариантных и ковариантных величин (см. ниже).

(*) На самом деле матрица преобразования Лоренца определяется таким образом, что базисные векторы преобразуются с$\Lambda^{-1}$. Он определяется таким образом, что сами координаты, также контравариантные в специальной теории относительности, преобразуются с$(\Lambda^{-1})^{-1} = \Lambda$. Так что на самом деле четырехимпульс также трансформируется с$\Lambda$. Но мы также можем рассматривать четырехимпульс как ковектор ( с нижними индексами), и в этом случае его компоненты преобразуются с изменением базисной матрицы$\Lambda^{-1}$сам, а не его инверсия$\Lambda$.