Отражается ли нетривиальная топология на торе на сфере Блоха?

Ниже я дам вам довольно подробный ответ, но позвольте мне сначала кратко изложить ответы на ваши вопросы:

1. Число Черна расслоения собственных векторов по тору можно оценить интегрированием по сфере, подынтегральная функция действительно будет монопольной кривизной Берри. Однако область интегрирования, вообще говоря, не будет единым размахом поверхности сферы, поскольку карта из$T^2$(зона Бриллюэна) до$S^2$может обмотать сферу несколько раз.

2. Функции перехода скорее связаны с числом Черна. Их витковое число, т. е. число оборотов экватора, равно числу Черна.

3. По вопросу, вынесенному в заголовок: Топология всех основных$U(1)$связки над$2$-тор$T^2$определяется исключительно числом Черня. (Этот результат не является общим; например, он неверен для тора$T^3$потому что он более высокого уровня)

Подробности:

Фаза Берри невырожденного состояния есть голономия главного$U(1)$расслоение над пространством параметров$M$. Топологически неэквивалентных может быть много.$U(1)$расслоения над заданным пространством параметров, соответствующие неэквивалентным квантовым системам. Таким образом, фаза Берри позволяет классифицировать параметризованные квантовые системы на основе классификации основных расслоений. На эту точку зрения обратили внимание: Бом, Бойя, Мостафазаде и Рудольф .

Теорема классификации основных расслоений утверждает существование универсального главного расслоения$U(1)\rightarrow\eta\rightarrow B$, такой, что любой главный$U(1)$пучок$\lambda$над пространством параметров является откатом которого при некоторой карте$f$. (Пожалуйста, обратитесь к Нэшу и Сену за более подробным объяснением теории классификации основных связок.)

$$\begin{array}{ccc} \lambda& \overset{f^*}\leftarrow & \eta\\ \downarrow & & \downarrow \\ \mathcal{M} & \overset{f}\rightarrow & B \end{array}$$

Теория классификации главных расслоений определяет базовое пространство (классифицирующее пространство) и тотальное пространство универсального расслоения, зависящее только от структурной группы (в нашем случае U(1)). Известно, что в случае невырожденного состояния гамильтониана, не ограниченного какой-либо антиунитарной симметрией, классифицирующим пространством является бесконечномерное комплексное проективное пространство$B = \mathbb{C}P^{\infty}$. (Дополнительное описание комплексных проективных пространств см. в главе 4 у Бенгтссона и Жичковского . Кроме того, очень полезно следующее изложение классификации пространств Джона Баэза, которое содержит дополнительные пояснения бесконечномерного случая.$\mathbb{C}P^{\infty}$.

$\mathbb{C}P(\infty)$пространство всех одномерных проекторов, а карта$f$из пространства параметров в универсальное базовое пространство:

$$P: \mathcal{M}\overset{P}\rightarrow \mathbb{C}P^{\infty}$$ $$\mathcal{M} \ni m \mapsto P(m) = |u(m)\rangle\langle u(m)|\in \mathbb{C}P^{\infty}$$

Где$|u(m)\rangle$это состояние системы. (Комплект$\lambda$иногда называется расслоением Берри, а когда состояние является собственным состоянием гамильтониана, Синонимы: собственное расслоение или спектральное расслоение).

Построение фазы Берри связано с существованием универсального$U(1)$связность над бесконечномерным проективным пространством, кривизна которого является формой Фубини-Штуди:

$$dA = \frac{1}{2i}\mathrm{Tr} (P dP \wedge dP)$$

Вытянутая назад связь Берри$P^*(A) = A(m)$есть связь Берри, голономия которой есть фаза Берри на$\mathcal{M}$и интеграл его кривизны на$M$это первый класс Чен$\lambda$.

Бесконечномерное проективное пространство$\mathbb{C}P^{\infty}$является прямым пределом ряда включений:

$$\mathbb{C}P^{1} \subset \mathbb{C}P^{2} . . . \subset \mathbb{C}P^{\infty}$$

В случае, когда пространство параметров двумерно, достаточно аппроксимировать классифицирующее пространство его первой компонентой, а именно$\mathbb{C}P^{1} = S^2$и рассмотрим отображения в пространство одномерных проекторов в двух измерениях, а именно$S^2$, и рассмотрим карту расслоения:

$$\begin{array}{ccc} \lambda& \overset{P^*}\leftarrow & \eta\\ \downarrow & & \downarrow \\ \mathcal{M} & \overset{P}\rightarrow & S^2 \end{array}$$

(Пожалуйста, см., например, Viennot , для более подробного описания конечномерных аппроксимаций классифицирующих пространств) Здесь очень легко написать формулу для одномерной проекционной карты:

$$P(m) = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1-\cos \theta(m) & \sin \theta(m) e^{i\phi(m)}\\ \sin \theta(m) e^{-i\phi(m)} & 1+\cos \theta(m) \end{bmatrix}$$ Этот проектор вызывает тягу к$\mathcal{M}$известной связи магнитного монополя Берри:

$$A_{\pm} = \frac{1\mp\cos \theta(m) }{\sin \theta(m) } d\phi(m)$$

чья кривизна Берри пропорциональна элементу площади сферы

$$F = \frac{1}{2} \sin \theta(m) d\theta(m) d\phi(m)$$

Интегрирование производится по пути в многообразии$\mathcal{M}$, таким образом, фаза Берри, соответствующая пути$\Gamma_M$дан кем-то:

$$\phi_B = \int_{\Gamma_M} A(m)$$

Его можно стянуть обратно к двум сферам (изменив переменную интегрирования), но в этом случае нужно интегрировать по образу пути$\Gamma = P(\Gamma_M)$:

$$\phi_B = \int_{\Gamma} A$$

То же самое верно и для класса Черна:

$$c = \int_{\mathcal{M}} F(m) = \int_{P(\mathcal{M})} F$$

Область интегрирования может намотать два шара несколько раз и число Черна будет кратно заряду монополя.

По второму вопросу заметим, что:

$$\begin{align*} \int_{P(\mathcal{M})} F & = \int_{P(\mathcal{M}) \cap S^1} \left (A_{+}-A_{-}\right ) &=\int_{P(\mathcal{M}) \cap S^1} d \phi &= \frac{1}{i}\int_{P(\mathcal{M}) \cap S^1} g^{-1}d g \end{align*}$$ Где$S^1$это экватор и$g= e^{i \phi}$. Последний член — это номер обмотки отображения$g$. Это одномерный термин Весса-Зумино-Виттена.