Ограничения инверсионной симметрии кривизны Берри в 2D

В 2D инверсия не полностью эквивалентна отражению.

Грубо говоря, если вы представите, что у вас есть 2D-плоскость в 3D, и выполните эту операцию с плоскостью, результат

$$(x,y,z) \to (x, -y,z) \hspace{1cm} (1)$$ будет «перевернутым» по сравнению с результатом преобразования четности в плоскости формы $$(x,y,z) \to (-x, -y,z) \hspace{1cm} (2)$$ как видно из $\pi$вращение вокруг $y$-ось. Так что вам придется учитывать и этот эффект. Мы можем проиллюстрировать это на следующем примере:

Это распределение стрелок инвариантно относительно закона преобразования (2). Is инвариантен относительно инверсии в обычном смысле. Однако, когда мы применяем закон (1), результат

Ясно, что (1) не является симметрией в этой ситуации, а (2) является. Таким образом, инверсия — это не то же самое, что переворачивание одной координаты.

Поскольку этот ответ получает неоднозначный ответ, я хочу остановиться на нем с другой стороны. Это связано со смыслом вращения и является корнем проблемы. Если вы делаете свое преобразование четности по рецепту (2), то направление вращения плоскости сохраняется, а по рецепту (1) нет, где$x$и$y$существенно меняют свои роли.

Чтобы замкнуть круг обсуждения фазы Берри, приведем простой физический аргумент, основанный на полуклассическом анализе. Он дает выражение для скорости блоховского состояния$n\mathbf{k}$(в представлении импульса кристалла) в присутствии внешнего электрического поля$\mathbf{E}$как

$$\mathbf{v}_n = \frac{1}{\hbar} \frac{\partial \epsilon_n(\mathbf{k})}{\partial \mathbf{k} } - \frac{e}{\hbar} \mathbf{E} \times \boldsymbol{\Omega}_n (\mathbf{k}) .$$

На основании этого результата можно сразу вывести свойства симметрии. Трехмерная пространственная инверсия формы$\mathbf{x}\to -\mathbf{x}$изменит знак$\mathbf{v}_n$,$\mathbf{E}$и$\mathbf{k}$. Это исправляет$\boldsymbol{\Omega}_n (\mathbf{k}) = \boldsymbol{\Omega}_n (-\mathbf{k})$.

Этот анализ относится к инверсии в плоскости в соответствии с формулой. (2). Мы можем убедиться в этом, если внимательно посмотрим на второй член. В 2D только$\Omega_z$срок конечен и поэтому

$$\mathbf{E} \times \boldsymbol{\Omega}_n = \begin{pmatrix} E_x \\ E_y \\E_z \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ \Omega^z_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} E_y \Omega^z_n(k_x, k_y) \\ -E_x \Omega^z_n(k_x, k_y) \\ 0 \end{pmatrix} \overset{(2)}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} -E_y \Omega^z_n(-k_x, -k_y) \\ +E_x \Omega^z_n(-k_x, -k_y) \\ 0 \end{pmatrix}.$$ Чтобы найти $$\begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ 0 \end{pmatrix} \overset{(2)}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} -v_x \\ -v_y \\ 0 \end{pmatrix},$$ мы требуем, чтобы $\boldsymbol{\Omega}_n (\mathbf{k}) = \boldsymbol{\Omega}_n (-\mathbf{k})$все еще держит.

Как насчет вашего предложения, т. е. уравнения. (1)? Предположим, что наша система имеет эту симметрию. Один из компонентов$\mathbf{v}_n$,$\mathbf{E}$и$\mathbf{k}$меняет знак, а другой нет. Мы можем вычислить это снова явно

$$\begin{pmatrix} E_y \Omega^z_n(k_x, k_y) \\ -E_x \Omega^z_n(k_x, k_y) \\ 0 \end{pmatrix} \overset{(1)}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} -E_y \Omega^z_n(k_x, -k_y) \\ -E_x \Omega^z_n(k_x, -k_y) \\ 0 \end{pmatrix}.$$ Здесь мы хотим видеть, что $$\begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ 0 \end{pmatrix} \overset{(1)}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} v_x \\ -v_y \\ 0 \end{pmatrix} .$$ Это означает, что в соответствии с уравнением симметрии. (1), мы требуем, чтобы $\Omega^z_n(k_x ,k_y) = -\Omega^z_n(k_x, -k_y)$. Однако решающим предположением является то, что уравнение. (1) — это симметрия вашего кристалла. В противном случае этот аргумент не работает. И, как я показал выше, уравнение симметрии. (1) и уравнение (2) на самом деле в целом разные . Преобразованная система выглядит «перевернутой» по отношению к оригиналу. Исправьте этот эффект, и кривизна Берри снова изменится ожидаемым образом.

Подробнее об этом можно прочитать в разделе III. B Сяо, Ди, Минг-Че Чанг и Цянь Ню. «Влияние фазы Берри на электронные свойства». Обзоры современной физики 82.3 (2010): 1959.