Второй класс Черна в двумерной модели Холдейна из теоремы Атьи-Зингера об индексе?

Я читал изложение теоремы Атьи-Зингера об индексе, сосредоточенное на физике, и задавался вопросом, что значит говорить о модели Холдейна для случая многообразия с краем. Известно, что в этом случае первое число Черна описывает топологический инвариант для всей зоны Бриллюэна. Однако что произойдет, если мы возьмем замкнутую адиабатическую петлю в торе Бриллюэна, связанную с моделью Холдейна? Тогда у нас есть многообразие с краем.

Я могу ошибаться, но, насколько я понимаю, связанная ссылка предполагает, что в уравнениях 8.2 и 8.5 теорема об индексе Атьи-Зингера подразумевает, что в этом случае будет задействован второй класс Черна и что у нас все еще будет квантованный топологический инвариант.

Однако у меня возникли проблемы с обдумыванием этого, потому что модель Холдейна представляет собой 2D-систему, а другие ресурсы ( например, самый верхний абзац на странице 1630003-19 этой статьи ) подразумевают, что бесполезно смотреть на второе число Черна в 2D. Что же тогда означает этот топологический инвариант? Не будет ли оно бесполезным, если оно неприменимо?

Очевидно, в моем понимании есть пробел, поэтому я был бы признателен, если бы кто-нибудь помог мне увидеть, что я пропустил. Спасибо!

Ссылка 1: Гравитация, калибровочные теории и дифференциальная геометрия, Эгучи, Гилки и Хэнсон.

Ссылка 2: Заметки о топологических изоляторах, Р. Кауфманн и Д. Ли.

Какое многообразие имеет край? Космос?
@RyanThorngren по многообразию, я имею в виду локальную область внутри петли в импульсном пространстве (тор Бриллюэна). Сама петля будет границей.
Каков физический смысл такой вещи?
@RyanThorngren Я пытаюсь понять это. :'-)

Ответы (1)

Действительно, второй класс Черна не может быть топологическим инвариантом в двух измерениях. Этот класс представлен рангом 4 формируются на гладких многообразиях, поэтому связанные с ним топологические квантовые числа могут быть получены только путем интегрирования по 4 размерных циклов, которых в данном случае не существует. Теорема об индексе, упомянутая в вопросе из работы Эгучи-Гилки-Хэнсона, явно дана для 4 размерные многообразия.

Однако второй класс Черна косвенно связан с классификацией векторных расслоений над 2 размерные системы следующим образом:

Напомним, что векторные расслоения над двумерными многообразиями классифицируются с помощью первого класса Черна. Но когда расслоение инвариантно относительно обращения времени (в этом случае первый класс Черна равен нулю), существует бинарный инвариант: Фу–Кейна–Меле Z 2 инвариант, который различает случаи, когда фаза Берри всегда 2 π (тривиальный случай), либо может принимать значение π (нетривиальный случай).

Один из способов понять Z 2 инвариантом является рассмотрение систем более высокого измерения, из которых наша двумерная система может быть получена путем уменьшения размерности. Уменьшение размеров следует понимать в соответствии с парадигмой Калуцы-Клейна , в которой дополнительные измерения компактифицируются, а в инфракрасном диапазоне присутствуют только низкоэнергетические моды, которые являются постоянными вдоль этих направлений.

Ци, Хьюз и Чжан показали в основополагающей работе , что 2 + 1 размерная система с нетривиальной Z 2 инвариант может быть получен из размерной редукции 4 + 1 размерная система со свободными фермионами только в том случае, если второй класс Черна у последней нечетен.

Это явление связано с пространственной лестницей киральных аномалий, см. раздел Накахара 13.6.2.

Большое спасибо за ваш подробный ответ! Знаете ли вы, имеет ли смысл идея второго класса Черна в двумерной модели Холдейна в контексте межзонных квантовых систем? Мы знаем, что первое число Черна предназначено для внутриполосных систем. Я знаю, что это звучит абсурдно, но я все еще пытаюсь придумать другие (даже нереалистичные) сценарии, в которых второй класс Черна будет иметь смысл в 2D-модели Холдейна.
Означает ли это, что инвариант Кейна-Меле является Z/2 степени 2 в теории нокаута? Или я неправильно понял? Обычно я думаю об этом как об инварианте Арфа.
TribalChief: Рассматривая внутриполосные системы, вы допускаете неабелевы соединения Берри и волокна более высокой размерности в своем пучке, но проблема в том, что базовое пространство по-прежнему будет ограничено. 2 размерный.
@Ryan Thorngren Боюсь, что мои познания в K-теории очень низки, но я видел много работы, связанной с Z 2 инвариант к K-теории, например, у Фрида и Мура arxiv.org/abs/1208.5055
@DavidBarMoshe, спасибо, но я не понимаю, почему базовое пространство в 2D является проблемой. Кроме того, в разделе 13.5.1 цитируемого вами ресурса Накахара он сравнивает m измерений с m + 2 измерениями с точки зрения абелева/неабелева. Если это не относится к Z 2 инвариант, что же это такое?
TribalChief: Вторая плотность класса Черна имеет вид т р Ф ∧ Ф . Единственный способ получить квантовое число из этой плотности — это проинтегрировать его по 4 объемное пространство. В приведенном вами примере зона Бриллюэна двумерна, поэтому нет возможности проинтегрировать вторую плотность Черна для получения топологического квантового числа.
продолжение Книга Накахара была написана до открытия Z 2 инвариант. Таким образом, в книге нет конкретного упоминания об этом. Я дал ссылку Накахара, потому что в ней есть подробное описание аномальной пространственной лестницы. Ци, Хьюз и Чжан упомянули, что их работа связана с лестницей аномальных измерений в середине второго столбца на странице 40.
продолжение Связь аномальной лестницы с топологическими изоляторами и Z 2 инвариант также упоминался в следующей работе Ли Кауфмана и Вехефрица-Кауфмана: de.arxiv.org/abs/1501.02874v1 (последний абзац раздела 3.4). Он был разработан более подробно в контексте квантовых эффектов Холла Хасебе arxiv.org/abs/1612.05853v2 .
Второй класс Черна в двумерной модели Холдейна из теоремы Атьи-Зингера об индексе?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v