Почему поток квантуется в четырехмерном квантовом эффекте Холла?

Я читаю «Топологическую теорию поля инвариантных изоляторов с обращением времени» Ци, Хьюза и Чжана ( https://arxiv.org/abs/0802.3537 ). В нем утверждается, что изоляторы, инвариантные по обращению времени (TRI) в измерениях 2 + 1 и 3 + 1, являются потомками фундаментального изолятора TRI в измерениях 4 + 1. Когда речь идет о квантовом эффекте Холла в 4D, используется формула. (58)

∫ д Икс д у Дж ж "=" С 2 Н Икс у 2 π Е г
где Н Икс у "=" ∫ г Икс г у Б г / 2 π . Это говорит о том, что кванты потока Н Икс у всегда квантуется как целое число. Это может быть тривиальный вопрос. Почему он квантуется? Связано ли это с периодическими граничными условиями в Икс , у направления?

Это может быть связано с (абелевым) инстантонным числом (т. е. вторым классом Черна) связности Берри в 4d-зоне Бриллюэна. Вероятно, из-за какого-то аргумента потоковой передачи.
Если только ваш вопрос не заключается в том, почему обычный магнитный поток через замкнутую поверхность квантуется? Это потому, что он измеряет первый класс Черна фотонного поля.
Да, я думаю, если мы потребуем, чтобы векторный потенциал A был периодическим (до 2 π Z ), поток должен быть квантован.
Оно должно быть периодическим, если электрический заряд квантуется.
Я могу понять квантование потока, потому что это 1-е число Черна на торе (периодическое на Икс , у направлениях), но как это связано с квантованием электрического заряда?
Если бы заряд не был квантован, калибровочная группа была бы р и все числа Черна были бы равны нулю.

Ответы (1)

В геометрии целочисленного квантового эффекта Холла магнитный поток через двумерную поверхность, на которой электроны ограничены нижним уровнем Ландау (LLL), должен быть квантован, даже если поверхность некомпактна. Причина в том, что в очень сильных магнитных полях в проекционной динамике на нижний уровень Ландау координаты становятся некоммутативными:

[ Икс , у ] "=" я ℏ с е Б г

См., например, следующую работу Ричарда Сабо (уравнение 14). Плотность состояний на единицу площади этой системы как раз ( 2 π ) − 1 умножить на величину, обратную правой части:

р "=" ( 2 π ) − 1 е Б г ℏ с

Таким образом, количество состояний на поверхности определяется выражением:

Н "=" ∫ р г Икс г у
Поскольку это число подсчитывает состояния в квантовой теории, оно должно быть проквантовано. (Ци, Хьюз и Чжан очень кратко упоминают этот аргумент на странице 15 после уравнения 70).

(Это рассуждение полностью аналогично квантованию числа состояний в случае свободной частицы. Здесь мы имеем [ Икс , п ] "=" я ℏ а число состояний равно объему фазового пространства в единицах постоянной Планка: Н "=" ∫ д Икс д п 2 π ℏ ).

Почему поток квантуется в четырехмерном квантовом эффекте Холла?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v