Вывод магнитного момента из уравнения Дирака

$A\times P$– точнее, выражение, пропорциональное$A\times P + P\times A$– не был установлен в ноль. Это было должным образом оценено, и результат дал$iq\hbar B/c$срок.

Обратите внимание, что если$\pi$были вектором$c$-числа, а не операторы,$\pi\times \pi$был бы равен нулю. Так ведет себя перекрестный продукт. Таким образом, любой член в векторном произведении$\pi\times \pi$который не равен нулю, должен быть пропорционален ненулевым коммутаторам между компонентами$\pi$. Теперь все три компонента$P$коммутировать друг с другом; и все три компонента$A$(которые зависят от вектора$x$) коммутируют друг с другом. Итак, все термины в$\pi\times \pi$должны возникать из коммутаторов компонент$P$, по сути, производная по$x$, а компоненты векторного потенциала$A$. Из вращательной симметрии ясно, что нужно получить кратное$\nabla\times A$таким образом. И кстати,$B = \nabla\times A$выполняется точно, даже если существует зависящий от времени скалярный потенциал!

Напишу расчет здесь:

$$\pi\times\pi = \epsilon_{ijk} \pi_j\pi_k = \frac 12\epsilon_{ijk} [\pi_j,\pi_k]=\dots$$ Здесь я мог бы заменить продукт $\pi_j\pi_k$на половину коммутатора, потому что он умножается на $jk$Во всяком случае, антисимметричный символ эпсилон. Продолжать: $$\dots = \epsilon_{ijk} [P_j,-qA_k/c] = \dots$$ Здесь я использовал распределительный закон для коммутатора, понял, что $[P_j,P_k]=0$и $[A_j,A_k]=0$, так что только смешанные коммутаторы вносят ненулевой вклад, и эти смешанные члены присутствуют дважды, $[P,A]$и $[A,P]$с обратным знаком (отменяется обратным знаком символа эпсилон), поэтому достаточно написать один из них и стереть множитель $1/2$снова.

Сейчас,$[P_j,Y]\equiv -i\hbar \partial_j Y$так что у нас есть

$$\dots = -i\hbar \epsilon_{ijk} \partial_j(-qA_k/c) = \frac{iq\hbar}{c} \epsilon_{ijk}\partial_j A_k = \frac{iq\hbar}{c} B_i.$$ КЭД.