Почему Кляйн-Гордон описывал скалярное поле со спином 0, а Дирак — со спином 1/2?

Вывод как уравнения Клейна-Гордона, так и уравнения Дирака обусловлен необходимостью квантовой механики (или, правильнее сказать, квантовой теории поля) придерживаться специальной теории относительности. Однако, за исключением того, что Кляйн-Гордон имеет проблему с отрицательной вероятностью, я не вижу разницы между этими двумя. Что заставляет Клейна-Гордона описывать скалярное поле, а Дирака описывать поле со спином 1/2? Редактировать: упс. Кляйн-Гордон не имеет проблемы с нелокальностью. Извините, что неправильно написал.

Изменить: Может ли кто-нибудь рассказать мне подробно, почему ψ поле является скалярным по Клейну-Гордону, а ψ в Дираке спин-1/2? Я имею в виду, если решение Дирака — это решение Кляйна-Гордона, то какой в ​​этом смысл?

Тем не менее, это не ответило, почему вероятность сохраняется. Поскольку решение уравнения Дирака также решает уравнение Клейна-Гордона, проблема несохранения вероятности присутствует и в уравнении Дирака, верно?

Ответы (5)

Спин - это свойство представления группы вращений С О ( 3 ) который описывает, как поле трансформируется при вращении. Это может быть разработано для каждого типа поля или уравнения поля.

Поле Клейна-Гордона дает представление со спином 0, в то время как уравнение Дирака дает два представления со спином 1/2 (которые сливаются в одно представление, если также учитывать дискретные симметрии).

Компоненты каждого свободного поля удовлетворяют уравнению Клейна-Гордона независимо от их спина. В частности, каждый компонент уравнений Дирака решает уравнение Клейна-Гордона. Действительно, уравнение Клейна-Гордона выражает только ограничение массовой оболочки и ничего более. Спин появляется, когда смотришь на то, что происходит с компонентами.

Вращение (и, в более общем случае, преобразование Лоренца) смешивает компоненты поля Дирака (или любого другого поля, не состоящего только из полей со спином 0), в то время как на к -component spin 0 field, оно будет преобразовывать каждый компонент отдельно.

В общем случае преобразование Лоренца, заданное как 4 × 4 матрица Λ изменяет к -компонентное поле Ф ( Икс ) в Ф Λ ( Λ Икс ) , куда Ф Λ знак равно Д ( Λ ) Ф с к × к матрица Д ( Λ ) это зависит от представления. Компоненты являются полями со спином 0 тогда и только тогда, когда Д ( Λ ) всегда тождество.

Давайте рассмотрим, как уравнение КГ восстанавливается из уравнения Дирака: (в натуральных единицах, где ℏ знак равно с 0 знак равно 1 )

( я γ мю ∂ мю − м ) Ψ знак равно 0
( − я γ мю ∂ мю − м ) ( я γ мю ∂ мю − м ) знак равно 0
( γ ν γ мю ∂ ν ∂ мю + м 2 ) Ψ знак равно 0
( ∂ 2 + м 2 ) Ψ знак равно 0.

Для того, чтобы восстановить KG, мы должны были предположить γ ν γ мю знак равно η мю ν . Другими словами, вы можете думать о гамме как о скалярном произведении дельты. Возьмем паршивый пример: у нас было уравнение, описывающее «спинор» скорости, а затем возвели его в квадрат, так что теперь оно описывает «скаляр» скорости, у которого на одну степень свободы меньше. Это объясняет лишь то, как уравнение, описывающее спинор, может быть сведено к уравнению, описывающему скаляр.

Причина, по которой уравнение Дирака требует спиноров, а не скаляров, заключается в специальной теории относительности. Если бы не надоедливый знак минуса η мю ν , алгебра гаммы была бы намного проще, и нам не нужно было бы, чтобы они были матрицами 4x4. затем Ψ может описывать скалярное поле.

Если мы скажем:

« Поле имеет представление со спином 0, спином 1/2 или спином 1 »

тогда мы фактически говорим что-то о том, как трансформируются параметры поля, если мы переходим из одной системы отсчета в другую.

спин 0 : значения поля не меняются, если мы переходим от одной системы отсчета к другой

спин 1 : мы должны применить матрицу преобразования Лоренца Λ по параметрам поля.

спин 1/2 : мы должны применить Λ 1 / 2 по параметрам поля.

Примечание: Использование выражения типа Λ 1 / 2 следует интерпретировать несколько символически , потому что векторы и биспиноры — это разные объекты. Хотя в показателе степени есть дополнительный множитель 1/2. Λ 1 / 2 матрица.

Спин (связанный с вращением) попадает сюда, потому что матрица преобразования Λ обрабатывает как повышения, так и вращения. Однако специфический фактор 1/2 возникает также в одномерной версии уравнения Дирака, где нет такой вещи, как спин (или вращение), и соответствующей одномерной + одновременной версии уравнения Дирака. Λ описывает только повышения.

Более глубокая причина коэффициента 1/2 заключается в том, что уравнение Дирака связывает две компоненты поля ψ р а также ψ л которые равны друг другу в системе покоя. В одномерном случае это компоненты, движущиеся вправо и влево . Соотношение двух преобразований следующим образом

( ψ р : ψ л ) ⟶ Λ   ( ψ р : ψ л )

При нормализации собственных функций плоской волны это заканчивается как

ψ р ⟶ Λ + 1 / 2 ψ р

ψ л ⟶ Λ − 1 / 2 ψ л

Если мы теперь вернемся к трем пространственным измерениям, то Λ включает в себя как ускорение, так и вращение, а коэффициент 1/2 в качестве показателя степени в матрицах генерации вращения приводит к двум тем, что мы называем частицами со спином 1/2.

Ганс.

Описание спина 1/2 неверно. нужно применить Λ и не его квадратный корень, а поскольку он применяется к спинору, а не к вектору, действие Λ отличается.
В каждом учебнике используется выражение Λ 1 / 2 применительно к спинорным компонентам. Спиноры по той же причине также нормированы на квадрат массы м
Вы путаете наблюдаемые, такие как текущий ψ ¯ γ мю ψ который преобразуется как вектор с полем ψ сам.
Вместо того, чтобы рассматривать конкретную форму Λ , Посмотрите на общее масштабирование общего буста: Векторы: чушь ⁡ ( ϑ ) + Г грех ⁡ ( ϑ ) против спиноров: чушь ⁡ ( ϑ / 2 ) + Г грех ⁡ ( ϑ / 2 )
Я не говорил о токах. - ''В каждом учебнике используется выражение Λ 1 / 2 ''?? Тогда, пожалуйста, покажите мне, где оно используется в этой форме в первом томе Вайнберга.
Если Λ является преобразованием Лоренца, как в В ′ мю знак равно Λ В ν знак равно ∂ Икс ′ мю ∂ Икс ν В ν , то тензоры преобразуются как Т ′ мю ν знак равно Λ ⊗ Λ Т α β знак равно ∂ Икс ′ мю ∂ Икс α ∂ Икс ′ β ∂ Икс ν Т α β или символически как Λ 2 и спиноры преобразуются в том же смысле, что и Λ 1 / 2 например, выраженный как ξ ′ знак равно п мю о мю   ξ куда п мю преобразуется как вектор. Абсолютная шкала параметров поля идет с чушь ⁡ ( ϑ / 2 ) + Г грех ⁡ ( ϑ / 2 )
Я попросил ссылку на Вайнберга в качестве проверки вашего (скорее всего ложного) утверждения о каждом учебнике. - Традиционно квадратный корень матрицы 4x4 является другой матрицей 4x4, поэтому Λ 1 / 2 ψ когда Λ представляет собой матрицу Лоренца 4x4 и ψ двумерный спинор не имел бы смысла. Ваше различное использование квадратного корня, по крайней мере, очень нетрадиционно.
Основная часть состоит в том, что при спинорных вращениях общая матрица вращения имеет вид потому что ⁡ ( ф / 2 ) + Г грех ⁡ ( ф / 2 ) где фактор 1/2 - это то, что делает поле спином 1/2.
Пескин и Шредер используют выражение Λ 1 2   знак равно   опыт ⁡ ( − я 2 ю мю ν С мю ν ) , ( 3.30 ) Это гамма-матрица 4x4.
@HansdeVries: использование Пескина/Шредера 1 2 как индекс для обозначения спинорного представления, а не как показатель степени

Спин — это часть того, чем ЯВЛЯЕТСЯ поле. Данные для двух полей разных спинов сильно различаются. Уравнение КГ не имеет смысла даже для поля со спином 1/2, а также для уравнения Дирака и полей со спином 0.

Только в отсутствие электромагнитного поля решения уравнения Дирака также решают уравнение Клейна-Гордона. Уравнение Клейна-Гордона можно применять к полям любого спина, если можно игнорировать любое взаимодействие со спином.

Почему Кляйн-Гордон описывал скалярное поле со спином 0, а Дирак — со спином 1/2?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v