Ожидаемое значение гамильтониана в различных картинах квантовой механики

Question

Ожидаемое значение гамильтониана в различных картинах квантовой механики

пользователь45151

Начнем со знакомого уравнения Шрёдингера:

я ℏ \frac{\partial | ψ_{С} ⟩}{\partial т} "=" {\hat{ЧАС}}_{С} | ψ_{С} ⟩

$i\hbar \frac{\partial \left|\psi_S\right\rangle}{\partial t} = \hat{H}_S \left|\psi_S\right\rangle$

Как мы переходим к другой картине, чем картина Шредингера с унитарным преобразованием $\hat U$ :

| ψ_{С} ⟩ "=" \hat{U} | ψ_{п} ⟩

$\left|\psi_S\right\rangle = \hat{U}\left|\psi_P\right\rangle$ (

S

$S$ с изображением Шредингера и

P

$P$ с указанием произвольной картинки) Если мы подключим

| ψ_{S} ⟩ = \hat{U} | ψ_{P} ⟩

$\left|\psi_S\right\rangle = \hat{U}\left|\psi_P\right\rangle$ в уравнение Шрёдингера получаем:

я ℏ \frac{\partial | ψ_{п} ⟩}{\partial т} "=" {\hat{ЧАС}}_{п} | ψ_{п} ⟩

$i\hbar \frac{\partial \left|\psi_P\right\rangle}{\partial t} = \hat{H}_P \left|\psi_P\right\rangle$ где

{\hat{ЧАС}}_{п} "=" U^{†} \hat{{ЧАС}_{С}} U - я ℏ U^{†} \frac{\partial U}{\partial т}

$\hat{H}_P = U^\dagger \hat{H_S} U - i\hbar U^\dagger \frac{\partial U}{\partial t}$ является гамильтонианом в этой произвольной картине.

Итак, вопрос заключается в том, что если гамильтониан является наблюдаемой величиной, то не должен ли он иметь одинаковые средние значения на обоих изображениях, но второй член в $\hat H_P$ делает их неравными. Потому что:

⟨ ψ_{п} | {\hat{ЧАС}}_{п} | ψ_{п} ⟩ "=" ⟨ ψ_{п} | U^{†} \hat{{ЧАС}_{С}} U | ψ_{п} ⟩ - я ℏ ⟨ ψ_{п} | U^{†} \frac{\partial U}{\partial т} | ψ_{п} ⟩

$\left\langle\psi_P\right|\hat{H}_P\left|\psi_P\right\rangle = \left\langle\psi_P\right| U^\dagger \hat{H_S} U \left|\psi_P\right\rangle - i\hbar \left\langle\psi_P\right| U^\dagger \frac{\partial U}{\partial t}\left|\psi_P\right\rangle$ это упрощает:

⟨ ψ_{п} | {\hat{ЧАС}}_{п} | ψ_{п} ⟩ "=" ⟨ ψ_{С} | \hat{{ЧАС}_{С}} | ψ_{С} ⟩ - я ℏ ⟨ ψ_{п} | U^{†} \frac{\partial U}{\partial т} | ψ_{п} ⟩

$\left\langle\psi_P\right|\hat{H}_P\left|\psi_P\right\rangle = \left\langle\psi_S\right| \hat{H_S} \left|\psi_S\right\rangle - i\hbar \left\langle\psi_P\right| U^\dagger \frac{\partial U}{\partial t}\left|\psi_P\right\rangle$ сообщая нам, что значения ожидания на двух разных картинках не совпадают. Я не вижу причин, по которым последний член должен быть равен нулю. Что здесь не так? Отличается ли гамильтониан от других наблюдаемых?

пользователь26143

Определение

H_{p}

$H_p$ в оп-посте для меня не мотивирован физически. Возьмем, к примеру, картину Гейзенберга, в которой вектор состояния стационарен. Таким образом

я \partial | ψ_{п} ⟩ / \partial т "=" 0

$i \partial | \psi_p \rangle / \partial t = 0$ , таким образом

H_{p} = 0

$H_p =0$ .... Мы знаем, что мотивированное (или обычное) определение

{ЧАС}_{п} "=" U^{†} {ЧАС}_{с} U

$H_p := U^{\dagger} H_s U$

предложение не может отказаться

Вот явный пример такого преобразования, вопросы в нем ( вопрос 3 и 1 ) очень похожи на этот пост, надеюсь, это поможет кому-то и мне лучше понять такую ситуацию.

Ответы (1)

Ожидаемое значение гамильтониана в различных картинах квантовой механики

Определение $H_p$ в оп-посте для меня не мотивирован физически. Возьмем, к примеру, картину Гейзенберга, в которой вектор состояния стационарен. Таким образом $я \partial | ψ_{п} ⟩ / \partial т "=" 0$ $i \partial | \psi_p \rangle / \partial t = 0$ , таким образом $H_p =0$ .... Мы знаем, что мотивированное (или обычное) определение ${ЧАС}_{п} "=" U^{†} {ЧАС}_{с} U$ $H_p := U^{\dagger} H_s U$
Вот явный пример такого преобразования, вопросы в нем ( вопрос 3 и 1 ) очень похожи на этот пост, надеюсь, это поможет кому-то и мне лучше понять такую ситуацию.

Панкрат · Answer 1

Только в картине Шредингера (и связанных с ней независимыми от времени $U$ ), что гамильтониан можно считать из динамического уравнения для $\vert\psi\rangle$ . На всех других картинках вы найдете своего рода «эффективный гамильтониан», который отличается от действительного гамильтониана на этой картинке. Так

{\hat{ЧАС}}_{п} "=" U^{†} {\hat{ЧАС}}_{С} U

$\hat{H}_P = U^\dagger \hat{H}_S U$ является гамильтонианом в P и

{\hat{ЧАС}}_{п, е ф ф} "=" U^{†} {\hat{ЧАС}}_{С} U - я ℏ U^{†} \partial_{т} U

$\hat{H}_{P,eff} = U^\dagger \hat{H}_S U - i \hbar U^\dagger \partial_t U$ тот, с которого вы читали

я ℏ \partial_{т} | ψ_{п} ⟩ "=" {\hat{ЧАС}}_{п, е ф ф} | ψ_{п} ⟩ .

$i\hbar \partial_t\vert\psi_P\rangle = \hat{H}_{P,eff}\vert\psi_P\rangle.$

Теперь становится ясно, что $\langle\psi_P\vert\hat{H}_P\vert\psi_P\rangle=\langle\psi_S\vert\hat{H}_S\vert\psi_S\rangle\neq\langle\psi_P\vert\hat{H}_{P,eff}\vert\psi_P\rangle$ в общем.

Например, на картинке Гейзенберга ( $P\to H$ ) у нас есть

{\hat{ЧАС}}_{ЧАС} "=" {\hat{ЧАС}}_{С}

$\hat{H}_H = \hat{H}_S$ но

{\hat{ЧАС}}_{ЧАС, е ф ф} "=" 0.

$\hat{H}_{H,eff} = 0.$

Ожидаемое значение гамильтониана в различных картинах квантовой механики

пользователь45151

пользователь26143

предложение не может отказаться

Ответы (1)

Панкрат

Ожидаемое значение гамильтониана?

Об использовании гамильтонианов для гелия

Есть ли в гильбертовом пространстве состояния, не являющиеся решениями гамильтониана?

Решение зависящего от времени уравнения Шрёдингера в матричной форме

Существует ли гамильтониан, содержащий производную по времени? [дубликат]

Введение Quantum, проблема с этим граничным условием и потенциалом

Общее решение состояний зависящего от времени гамильтониана

Можем ли мы с уверенностью предположить, что Ψ(x,t)=ψ(x)e−iωtΨ(x,t)=ψ(x)e−iωt\Psi(x,t) = \psi(x)e^{-i\ omega t} всегда в QM?

Электрон проходит через ступенчатый потенциал от V0V0V_0 до 0

В каких случаях целесообразно решать стационарное уравнение Шредингера?