Есть ли в гильбертовом пространстве состояния, не являющиеся решениями гамильтониана?

В вашем вопросе есть некоторая тонкость.

Для квантовых систем с конечным числом степеней свободы , которые обычно рассматриваются во введении в КМ, все относительно просто:

1. И да, и нет: гамильтониан, безусловно, определяет базис гильбертова пространства состояний, но рабочее гильбертово пространство зависит от области определения задачи и связанных с ней граничных условий. См. частицу в 3D-ящике против свободной частицы во всем 3D-пространстве, а также частицу в ящике с bc-s Дирихле против частицы в ящике с периодическим bc-s и т. д. Альтернативно, гильбертово пространство определяется алгеброй системных наблюдаемых, как указано в ответе пользователя 1620696, но эти два описания в конечном итоге эквивалентны. Более того, существует еще более глубокая эквивалентность гильбертовых пространств, см. пункт (3) ниже.

2. Каждая частица живет в своем собственном гильбертовом пространстве, но объединенная взаимодействующая система живет в прямом произведении отдельных гильбертовых пространств. Опять же, см. отношение к алгебре наблюдаемых, как в ответе пользователя 1620696.

3. Не говоря уже о спине и упомянутых Хосейном спиновых взаимодействиях, вообще говоря, нет, при конечном числе степеней свободы гильбертово пространство не меняется при возмущениях. Согласно теореме Стоуна-фон Неймана , в этом случае все возможные гильбертовы пространства изоморфны друг другу (или, что то же самое, существует единственное неприводимое представление канонических коммутационных отношений), поэтому различие одного над другим не имеет формального значения. В лучшем случае полное гильбертово пространство разлагается в прямую сумму нескольких изоморфных копий.

Для систем с бесконечным числом степеней свободы , которые являются областью квантовой теории поля, пункты (1) и (2) выше остаются в значительной степени верными, но ситуация резко меняется в отношении пункта (3).

Теорема Стоуна-фон Неймана неверна для квантовых полей, и можно обнаружить, что некоторые унитарные преобразования, определенные в одном гильбертовом пространстве, построенные вокруг данного гамильтониана, производят состояния, ортогональные всему этому гильбертовому пространству и живущие в совершенно новом, неэквивалентное пространство состояний. Это случай неэквивалентного вакуума многих гамильтонианов КТП, от гамильтонианов конденсированного состояния (см. бозонную конденсацию, сверхпроводимость и т. д.) до КХД.

Далее, природа таких неэквивалентных вакуумов (или, лучше сказать, унитарно неэквивалентных представлений динамики ) определяется характером взаимодействий между свободными полями, описываемыми некоторым гамильтонианом свободных частиц, и соответствующим пространством состояний.

Чтобы получить представление о том, что происходит, см., например, гл. 1.2 этого обзора о канонических преобразованиях в квантовой теории поля .

Именно алгебра наблюдаемых определяет ее возможные представления, т. е. соответствующее гильбертово пространство (пространства).

Гамильтониан описывает динамику в рамках данного представления.

Изменить . Чтобы немного пояснить, общее математическое описание квантово-механических систем выглядит следующим образом.

(Ограниченные, комплексные) наблюдаемые квантовой системы образуют инволютивную банахову алгебру, называемую C*-алгеброй. Эта структура позволяет добавлять наблюдаемые ($+$), умноженный ($\cdot$), примыкал ($^*$) закрытым способом; и придает значение «величине» или норме данной наблюдаемой. Истинные физические наблюдаемые — это самосопряженные элементы C*-алгебры$\mathfrak{A}$которые удовлетворяют$a^*=a$(и, таким образом, иметь реальный спектр). Квантовые состояния — это позитивно сохраняющие объекты топологической двойственности.$\mathfrak{A}^*$с нормой один.

Типичным примером С*-алгебр являются алгебры ограниченных операторов в гильбертовых пространствах. Оказывается, всякая С* -алгебра есть алгебра операторов в некотором гильбертовом пространстве :

Теорема [Гельфанда]. Всякая С*-алгебра *-изоморфна алгебре ограниченных операторов в некотором гильбертовом пространстве.

Следовательно, пока квантовые ограниченные наблюдаемые описываются C*-алгеброй, их можно представить как операторы в некотором гильбертовом пространстве. Конечно, это представление не уникально; для каждого штата$\omega\in\mathfrak{A}^*_+$, существует ассоциированное представление$(H_\omega, \pi_\omega,\Omega)$дается так называемой конструкцией GNS. Кроме того, указанное представление неприводимо только в том случае, если состояние$\omega$чистый.

Сказал, что следующий вопрос может быть следующим. Все ли неприводимые представления данной алгебры унитарно эквивалентны? (т. е. все ли представления, грубо говоря, эквивалентны с точностью до замены базиса?) Если бы ответ был утвердительным, это в некотором смысле говорило бы нам, что гильбертово пространство, связанное с данной алгеброй наблюдаемых, уникально. Ответ, однако, вообще нет ; очень важный пример дает алгебра канонических коммутационных соотношений (свободных) квантовых теорий поля. Вместо этого в случае квантовой механики каждое неприводимое представление алгебры канонических коммутационных соотношений унитарно эквивалентно обычному представлению Шрёдингера.

Гамильтониан отчасти не связан с этим. Это генератор квантовой динамики$(U(t))_{t\in\mathbb{R}}$, и, конечно, последний должен действовать на алгебре наблюдаемых (что эквивалентно, на состояниях). Предположим, что данная алгебра наблюдаемых есть$\mathfrak{A}$, эволюция должна быть группой автоморфизмов на алгебре с некоторыми подходящими свойствами непрерывности по времени$t$. Однако во многих конкретных приложениях мы должны рассматривать достаточно большую алгебру наблюдаемых, чтобы это было возможно с эволюцией, которая соответствует требуемым нами требованиям (например, данным наблюдениями над системой). Алгебра канонических коммутационных соотношений$\mathrm{CCR}$может быть недостаточно, и чтобы увеличить его, мы можем, например, зафиксировать неприводимое представление$(H,\pi)$такой, что$\pi(a)\in\mathcal{L}(H)$для любого$a\in\mathrm{CCR}$является ограниченным оператором. Бикоммутант$\pi(\mathrm{CCR})''$алгебры канонических коммутационных соотношений в представлении$\pi$содержит$\pi(\mathrm{CCR})$и состоит из всех ограниченных операторов на$\mathcal{L}(H)$которые коммутируют со всеми операторами, которые коммутируют со всеми операторами в$\pi(\mathrm{CCR})$(и это C* алгебра). На таком бикоммутанте или, в более общем случае, на$\mathcal{L}(H)$, можно определить унитарную эволюцию$(U(t))_{t\in\mathbb{R}}$и его генератор — гамильтониан. Однако этот гамильтониан зависит от представления (по отношению к каноническим коммутационным соотношениям), поскольку в общем случае$U(t)[\pi(\mathrm{CCR})]\not\subset \pi(\mathrm{CCR})$.

Дело в том, что сначала следует идентифицировать гильбертово пространство системы, а затем писать ее гамильтониан. В обычных задачах легко определить собственное гильбертово пространство, и можно написать гамильтониан, не тратя время на поиск гильбертова пространства. например, одна частица без спина. Поэтому, когда вы пишете гамильтониан, вы должны сначала знать гильбертово пространство.

Еще один момент: иногда люди не знают структуру гильбертова пространства задачи, они просто пишут гамильтониан, угадывая, а затем пытаются выяснить структуру гильбертова пространства, одним из примеров является квантование свободных полей, которое превращает дать пространство Фока - прямую сумму нуля, единицы, двух,$\dots$состояния частиц.

Итак, ответ на ваши вопросы:

1. Да, в том смысле, что его собственные векторы являются базисом гильбертова пространства, но удобно ли это гильбертово пространство для описания вашей системы, модель которой вы хотите построить, или нет — это уже другая история.

2. Нет, только если они полностью независимы и между ними нет никакого взаимодействия, то у каждого есть свое гильбертово пространство. Тем не менее, вы можете написать гамильтониан для обеих этих двух частиц с помощью тензорного произведения.

3. Как я уже сказал, если вы определили гильбертово пространство, то каждый член гамильтониана должен быть четко определенным оператором в этом гильбертовом пространстве. Но если вы сначала не определили гильбертово пространство, то да, гильбертово пространство можно изменить, добавив новые члены в гамильтониан. Например, добавив член, который зависит от спина частицы, к гамильтониану бесспиновой частицы, который зависит только от операторов положения и импульса.

Гильбертово пространство по определению — это просто одно векторное пространство.$\mathcal{H}$над$\mathbb{C}$оснащен одним внутренним продуктом$\langle,\rangle :\mathcal{H}\times \mathcal{H}\to \mathbb{C}$такое, что определяя расстояние$d :\mathcal{H}\times \mathcal{H}\to \mathbb{R}$,

результирующее метрическое пространство$(\mathcal{H},d)$полна в том смысле, что каждая последовательность Коши сходится к точке в$\mathcal{H}$.

Один важный результат:

Два гильбертовых пространства изометрически изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность.

Итак, для каждого измерения существует ровно одно гильбертово пространство. Если размерность$n\in\mathbb{N}$затем$\mathcal{H}\simeq \mathbb{C}^n$, а если размерность бесконечна, то$\mathcal{H}\simeq \ell^2(\mathbb{C})$, существование$\ell^2(\mathbb{C})$пространство последовательностей$(a_n)_{n\in \mathbb{N}}$комплексных чисел$a_n\in \mathbb{C}$такой, что$\sum |a_n|^2 < \infty$.

В квантовой механике гильбертово пространство появляется в первом постулате:

1. Состояния квантовой системы описываются векторами в гильбертовом пространстве, называемом пространством состояний.$\mathcal{E}$.

Наблюдаемые появляются во втором постулате:

2. Каждой физической величине, связанной с системой, соответствует один эрмитов оператор$A\in \mathcal{L}(\mathcal{H},\mathcal{H})$, такой оператор называется одним наблюдаемым.

Гамильтониан — это всего лишь одна конкретная наблюдаемая: наблюдаемая, связанная с полной энергией системы.

Теперь давайте рассмотрим ваши вопросы, один за другим:

1. Гамильтониан не определяет гильбертово пространство. Интересно, что именно наблюдаемые определяют гильбертово пространство. На самом деле наблюдаемые образуют одну алгебру, называемую наблюдаемой алгеброй, и эта наблюдаемая алгебра определяет гильбертово пространство. Подумайте о частице в одном измерении: она может подчиняться потенциалу бесконечной прямоугольной ямы, потенциалу одномерного гармонического осциллятора или даже дельта-потенциалу, но в любом из этих случаев гильбертово пространство одно и то же.

2. Система двух частиц описывается другим гильбертовым пространством не из-за гамильтонианов, а из-за наблюдаемой алгебры. Если первая частица описывается$\mathcal{E}_1$а вторая частица описывается как$\mathcal{E}_2$, то двухчастичная система описывается уравнением$\mathcal{E}_1\otimes \mathcal{E}_2$. Если бы частицы не взаимодействовали, результирующий гамильтониан был бы$H = H_1\otimes \mathbf{1} + \mathbf{1}\otimes H_2$, иначе были бы условия взаимодействия.

3. Опять же, пространство не определяется гамильтонианом. Гамильтониан — это всего лишь одна конкретная наблюдаемая. Если вы добавите члены в гамильтониан, вы просто измените наблюдаемую энергию, но не измените пространство состояний. Опять же, пространство состояний определяется алгеброй наблюдаемых, а не конкретной формой одной наблюдаемой.