Об использовании гамильтонианов для гелия

Question

Об использовании гамильтонианов для гелия

Джесси

Гамильтониан гелия может быть выражен как сумма двух водородных гамильтонианов и кулоновского взаимодействия двух электронов.

\hat{ЧАС} "=" {\hat{ЧАС}}_{1} + {\hat{ЧАС}}_{2} + {\hat{ЧАС}}_{1, 2} .

$\hat H = \hat H_1 + \hat H_2 + \hat H_{1,2}.$

Волновая функция для парагелия (спин = 0) равна

$\psi(1,2) = \psi_S(r_1, r_2)\dot \xi_A(s_1, s_2)$ причем первая является симметричной пространственной функцией, а вторая - антисимметричной.

Мы можем разделить это на нормализованную функцию

$\psi_S(r_1,r_2) = \frac{1}{\sqrt{2}}[\psi_1(r_1)(\psi_2(r_2)+ \psi_1(r_2)(\psi_2(r_1)]=\psi_S(r_2,r_1)$

Для ортогелия функции выглядят следующим образом:

$\psi(1,2) = \psi_A(r_1, r_2)\dot \xi_S(s_1, s_2)$ $\psi_A(r_1,r_2) = \frac{1}{\sqrt{2}}[\psi_1(r_1)(\psi_2(r_2) - \psi_1(r_2)(\psi_2(r_1)]=-\psi_A(r_2,r_1)$

Покажите, что основное состояние гелия — парагелий. Подсказка в том, что происходит с волновой функцией.

Итак, я начну с того, что гамильтониан данной волновой функции (функций)

{ЧАС}_{1} "=" \frac{ℏ^{2}}{2 м} \frac{\partial ψ}{\partial^{2} р_{1}^{2}} "=" Е_{1} ψ

$H_1 = \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial \psi}{\partial^2 r_1^2} = E_1 \psi$

{ЧАС}_{2} "=" \frac{ℏ^{2}}{2 м} \frac{\partial ψ}{\partial^{2} р_{2}^{2}} "=" Е_{2} ψ

$H_2 = \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial \psi}{\partial^2 r_2^2} = E_2 \psi$

{ЧАС}_{1, 2} "=" - \frac{е^{2}}{4 π ϵ_{0} р_{1, 2}}

$H_{1,2} = -\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r_{1,2}}$

Хорошо, я пытался понять, как начать с этого. Поэтому я хотел проверить, является ли то, что я указал выше, «разрешенным», то есть является ли вторая производная (на самом деле, набла) пси-функций, поддающихся обработке таким образом, поскольку все они имеют две переменные (на самом деле два вектора положения) в их? По сути, это все о том, как настроить начальные дифференциалы, которые я бы решил.

РЕДАКТИРОВАТЬ: Одна вещь, которую я думал сделать, это (для $H_1$ ):

$H_1 = -\frac{\hbar^2}{2m}(\frac{\partial \psi}{\partial^2 r_1^2}+\frac{\partial \psi}{\partial^2 r_2^2})=E_1(\psi_1(r_2)+\psi_1(r_1))$

но опять же, я не знаю, кошерно ли это.

Кэмерон Уильямс

Тем не менее, я думаю, что вам не хватает кулоновских взаимодействий в

H_{1}

$H_1$ и

H_{2}

$H_2$ .

Феликс Марин

Ψ_{S}

$\large\Psi_{\rm S}$ и

Ψ_{o r t h o}

$\large\Psi_{\rm ortho}$ не являются собственными функциями полного гамильтониана. Обычно это делается для сравнения энергий в обоих случаях. Это просто равносильно тому, чтобы взять «среднее»

H_{12}

$\large H_{12}$ с обеими функциями и дает оценку для разности энергий. По сути, это теория возмущений первого порядка. В книге Бете и Солпитера есть несколько подходов к энергии атома гелия.

Джесси

Итак, что это значит для настройки начальной части проблемы?

Ответы (1)

Об использовании гамильтонианов для гелия

Тем не менее, я думаю, что вам не хватает кулоновских взаимодействий в $H_1$ и $H_2$ .
$\large\Psi_{\rm S}$ и $\large\Psi_{\rm ortho}$ не являются собственными функциями полного гамильтониана. Обычно это делается для сравнения энергий в обоих случаях. Это просто равносильно тому, чтобы взять «среднее» $\large H_{12}$ с обеими функциями и дает оценку для разности энергий. По сути, это теория возмущений первого порядка. В книге Бете и Солпитера есть несколько подходов к энергии атома гелия.
Итак, что это значит для настройки начальной части проблемы?

Иордания · Answer 1

Я не уверен, насколько точным вы хотите быть в этом, но с моей точки зрения, чтобы показать, что парагелий имеет более низкую энергию, вам не нужно много знать о реальных волновых функциях. На самом деле невозможно написать точную волновую функцию для гелия из-за члена взаимодействия. Я не собираюсь отвечать на этот вопрос за вас, потому что это похоже на вопрос домашнего задания, но я попытаюсь расширить подсказку, чтобы вам было легче решить ее самостоятельно. Поскольку электроны являются фермионами, мы знаем, что волновая функция этой системы должна быть полностью антисимметричной при обмене частицами. В случае парагелия спиновое состояние антисимметрично при таком обмене, поэтому мы знаем, что пространственная волновая функция должна быть симметричной. Подумайте о состояниях, которые вы можете построить при этом ограничении, и сравните со случаем ортогелия.

Я чувствую, что должен также добавить, что в ваших выражениях для гамильтониана отсутствует $1/r$ потенциальные термины, но помимо этого то, что вы написали, выглядит «кошерно».

Это помогает, и нет, я не искал ответа, как вы имеете в виду, - я просто хотел убедиться, что начинаю правильно. Я не был уверен, что можно разбить $\psi(r_1,r_2)$ таким образом функционирует внутри гамильтониана. Так что я должен был (с потенциальными условиями) $H_1 = -\frac{\hbar^2}{2m}(\frac{\partial^2 \psi_1}{\partial r_1^2}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial r_2^2}-\frac{2e^2}{4\pi \epsilon_0 r}-\frac{2e^2}{4\pi \epsilon_0 r})=E_1(\psi_1(r_2)+\psi_1(r_1))$

Об использовании гамильтонианов для гелия

Джесси

Кэмерон Уильямс

Феликс Марин

Джесси

Ответы (1)

Иордания

Джесси

Ожидаемое значение гамильтониана?

Есть ли в гильбертовом пространстве состояния, не являющиеся решениями гамильтониана?

Чем отличается модель атома Бора от модели Шредингера?

Что представляют собой атомные орбитали в квантовой механике?

Существует ли только радиальное движение в основном состоянии Водорода?

Ожидаемое значение гамильтониана в различных картинах квантовой механики

Простое объяснение уравнения Шредингера и модели атома? [закрыто]

Ожидаемое значение p2(1/r)+(1/r)p2p2(1/r)+(1/r)p2p^2 (1/r) + (1/r) p^2

Нулевая вероятность найти электрон в ядре

Введение Quantum, проблема с этим граничным условием и потенциалом