Решение зависящего от времени уравнения Шрёдингера в матричной форме

Если у нас есть гильбертово пространство С 3 так что волновая функция представляет собой трехкомпонентный вектор-столбец

ψ т "=" ( ψ 1 ( т ) , ψ 2 ( т ) , ψ 3 ( т ) )
С гамильтонианом ЧАС данный
ЧАС "=" ℏ ю ( 1 2 0 2 0 2 0 2 − 1 )
С
ψ т ( 0 ) "=" ( 1 , 0 , 0 ) Т
Поэтому я приступил к поиску стационарных состояний ЧАС путем нахождения его собственных векторов и собственных значений. ЧАС имеет собственные значения и собственные векторы:
3 ℏ ю , 0 , − 3 ℏ ю
ψ + "=" 1 3 ( 2 , 2 , 1 ) Т , ψ 0 "=" 1 3 ( 2 , − 1 , − 2 ) Т , ψ − "=" 1 3 ( 1 , − 2 , 2 ) Т
Соответственно.

Может ли кто-нибудь объяснить мне, как перейти от этого к общему решению, зависящему от времени, и вычислить вероятности местоположения? Я только когда-либо сталкивался Ψ "=" Ψ ( Икс , у , г , т ) раньше, поэтому меня крайне смущает этот формат матрицы.

Буду крайне признателен за любую помощь!

Ответы (1)

Общее решение

ψ ( т ) "=" ∑ к с к е − я т Е к / ℏ ψ к
где ψ к образуют основу собственных векторов с соответствующими собственными значениями Е к , и с к постоянны.

Вы можете сопоставить произвольные начальные условия в т "=" 0 путем расширения начального состояния по собственному базису; это определит значение для с к .

[Изменить] Чтобы получить статистическую интерпретацию: ожидание эрмитовой наблюдаемой А вовремя т дается на картине Шредингера

⟨ А ⟩ т "=" ψ ( т ) * А ψ ( т ) .
Здесь предполагается, что ψ ( т ) имеет норму 1. Поскольку квадрат нормы сохраняется динамикой, это дает четко определенное математическое ожидание (т. е. математическое ожидание единичной матрицы всегда равно 1).

Хорошо, это то, что я себе представлял, я не был уверен. Но что более важно, как вы интерпретируете это вероятностно в матричной форме?
Ваш с "=" 0 иметь в виду с ( т "=" 0 ) ?
The с к постоянны, а т отсутствовал в показателе степени первой формулы. с "=" 0 имел в виду т "=" 0 . Я исправил обе ошибки; извини.
Решение зависящего от времени уравнения Шрёдингера в матричной форме
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v