Ожидаемое значение производной по времени от оператора по сравнению с производной по времени после оператора

В задаче 3.18 Гриффитса «Введение в квантовую механику» (3-е изд.) предлагается применить обобщенную теорему Эренфеста к таким операторам, как гамильтониан и оператор импульса. Цель упражнения — вывести классические формулы из уравнений. Общая форма:

$$\frac{d\langle Q\rangle}{dt} = \frac{i}{\hbar} [\hat H, \hat Q] + \left< \frac{\partial Q}{\partial t}\right>.$$ Теперь, когда я применил это к гамильтониану в стационарном потенциале, моя интуиция подсказывала мне, что это должно стать:

$$\frac{d\langle H\rangle}{dt} = 0,$$

потому что это, кажется, относится к сохранению энергии. Аналогично для импульса мы должны получить:

$$m\langle a\rangle=\left<-\frac{\partial V}{\partial x}\right>,$$

который, как я знаю, напоминает второй закон Ньютона в потенциале консервативной силы. Проблема, которую я понял, решая их, заключалась в том, что не было очевидно, что$\langle \partial \hat H/\partial t\rangle=0$или$\langle \partial \hat p/\partial t\rangle=0$: в частности, поскольку линейные операторы (кажется) всегда действуют мультипликативно, я интерпретировал$\langle \partial \hat p/\partial t\rangle$следующее:

$$\begin{align} \left<\frac{\partial \hat p}{\partial t}\right>&=\left<\Psi(x,t)\mid\frac{\partial \hat p}{\partial t}\Psi(x,t)\right>\\&=\int^{+\infty}_{-\infty}\overline{\Psi(x,t)}\left(\frac{\partial \hat p}{\partial t}\right)\Psi(x,t)dx\\&=\int^{+\infty}_{-\infty}\overline{\Psi(x,t)}\frac{\partial}{\partial t}\Big(\hat p\:\Psi(x,t)\Big)dx \end{align}$$

Очевидно, что я не единственный , у кого есть проблемы с интерпретацией указанной производной, и в этом отношении я думаю, что на мои опасения ответили в связанных темах (мы должны притвориться, что производная обязывает нас смотреть на$\hat Q$как если бы это была функция, которая могла бы явно зависеть от времени и выводить сам оператор как таковой).

Однако это заставило меня задуматься: а что, если я действительно хочу выразить «ожидаемое значение оператора, который применяется$\partial/\partial t$после применения$\hat Q$"? Обозначение, используемое в обобщенной теореме Эренфеста, не следует интерпретировать как таковое, поэтому единственный другой способ, которым я мог это выразить, - это написать

$$\left<\frac{\partial}{\partial t}\hat Q\right>.$$ Это верно? Почему в этой теореме не применяется мультипликативная запись операторов, а везде (насколько я знаю, прочитав 130 страниц) она применяется?