Проблема при выводе теоремы Эрефеста

Question

Проблема при выводе теоремы Эрефеста

Спарш Мишра

По теореме Эренфеста мы знаем, что

\frac{д ⟨ Ом ⟩}{д т} "=" ⟨ [ЧАС, Ом] ⟩,

$\dfrac{\mathrm d \langle \Omega \rangle}{\mathrm dt} =\langle[H,\Omega]\rangle,$ где

Ω

$\Omega$ является оператором и

H

$H$ является квантовым гамильтонианом.

Я хотел бы знать, что не так в следующих шагах:

\begin{matrix} (1) & \frac{д ⟨ Ом ⟩}{д т} "=" \frac{д ⟨ ψ | Ом | ψ ⟩}{д т} "=" (\frac{\partial ⟨ ψ |}{\partial т}) Ом | ψ ⟩ + ⟨ ψ | \frac{\partial (Ом | ψ ⟩ |)}{\partial т} \end{matrix}

$\begin{equation} \frac{\mathrm d \langle \Omega \rangle}{\mathrm dt} := \frac{\mathrm d\langle \psi | \Omega|\psi \rangle}{\mathrm dt} = \left(\frac{\partial\langle\psi| }{\partial t} \right)\Omega|\psi\rangle + \langle \psi |\frac{\partial(\Omega|\psi\rangle|)}{\partial t} \tag{1} \end{equation}$ Используя правило продукта,

\begin{matrix} (2) & \frac{д ⟨ ψ | Ом | ψ ⟩}{д т} "=" (\frac{\partial ⟨ ψ |}{\partial т}) Ом | ψ ⟩ + ⟨ ψ | \frac{\partial (Ом | ψ ⟩ |)}{\partial т} \end{matrix}

$\begin{equation} \frac{\mathrm d\langle \psi | \Omega|\psi \rangle}{\mathrm dt} = \left(\frac{\partial\langle\psi| }{\partial t} \right)\Omega|\psi\rangle + \langle \psi |\frac{\partial(\Omega|\psi\rangle|)}{\partial t} \tag{2} \end{equation}$ Уравнение Шредингера утверждает:

\begin{matrix} (3) & \frac{\partial | ψ ⟩}{\partial т} "=" \frac{- я ЧАС | ψ ⟩}{ℏ} \end{matrix}

$\begin{equation} \frac{\partial|\psi \rangle}{\partial t} = \frac{-i H|\psi\rangle }{\hbar}\tag{3} \end{equation}$

Итак, принимая эрмитово сопряжение (и поскольку гамильтониан эрмитов):

\begin{matrix} (4) & \frac{\partial ⟨ ψ |}{\partial т} "=" \frac{я ⟨ ψ | ЧАС}{ℏ} \end{matrix}

$\begin{equation} \frac{\partial\langle\psi| }{\partial t} = \frac{i \langle\psi|H }{\hbar} \tag{4} \end{equation}$ Теперь применяя зависящее от времени уравнение Шредингера к состоянию

Ω | ψ ⟩

$\Omega|\psi\rangle$ (Это можно сделать как

Ω | ψ ⟩

$\Omega|\psi\rangle$ также является состоянием в функциональном пространстве),

\begin{matrix} (5) & \frac{\partial Ом | ψ ⟩}{\partial т} "=" \frac{- я ЧАС Ом | ψ ⟩}{ℏ} \end{matrix}

$\begin{equation} \frac{\partial\Omega|\psi \rangle}{\partial t} = \frac{-i H\Omega|\psi\rangle }{\hbar}\tag{5} \end{equation}$ Таким образом, применяя уравнения 4,5 к уравнению 2,

\begin{matrix} (5) & \frac{д ⟨ ψ | Ом | ψ ⟩}{д т} "=" (\frac{я ⟨ ψ | ЧАС}{ℏ}) Ом | ψ ⟩ + ⟨ ψ | \frac{- я}{ℏ} ЧАС Ом | ψ ⟩ \end{matrix}

$\begin{equation} \frac{\mathrm d\langle \psi | \Omega|\psi \rangle}{\mathrm dt} = \left( \frac{i \langle\psi|H }{\hbar} \right)\Omega|\psi\rangle + \langle \psi| \frac{-i }{\hbar}H\Omega|\psi\rangle\tag{5} \end{equation}$ Как мы видим, это дает

\frac{д ⟨ ψ | Ом | ψ ⟩}{д т} "=" \frac{я}{ℏ} ⟨ ψ | ЧАС Ом | ψ ⟩ - \frac{я}{ℏ} ⟨ ψ | ЧАС Ом | ψ ⟩ "=" 0

$\begin{equation} \frac{\mathrm d\langle \psi | \Omega|\psi \rangle}{\mathrm dt} = \frac{i}{\hbar}\langle\psi|H \Omega|\psi\rangle - \frac{i}{\hbar}\langle\psi|H \Omega|\psi\rangle = 0 \end{equation}$ Это противоречит теореме Эрефеста, поскольку

Ω

$\Omega$ был обычным оператором. Я подозреваю, что один из моих шагов кратко предполагал что-то, но я не могу понять, что это такое.

Ответы (3)

Проблема при выводе теоремы Эрефеста

ZeroTheHero · Answer 1

Предположим, что $\Omega$ не зависит явно от времени. При этом ваш (5) становится

\begin{matrix} (6) & \frac{\partial}{\partial т} Ом | ψ ⟩ "=" Ом \frac{\partial}{\partial т} | ψ ⟩ "=" - \frac{я Ом ЧАС}{ℏ} | ψ ⟩ \end{matrix}

$\frac{\partial}{\partial t}\Omega\vert\psi\rangle = \Omega\frac{\partial}{\partial t}\vert\psi\rangle=-\frac{i\Omega H}{\hbar} \vert\psi\rangle \tag{6}$ Сочетание вашего (4) и моего (6) даст требуемый результат.

Точнее, ошибка в том, что если $\vert\psi\rangle$ тогда это решение $\Omega\vert\psi\rangle$ обычно не является решением. Чтобы увидеть это, подумайте

| Ψ (т) ⟩ "=" а_{0} е^{- я ю т / 2} | 0 ⟩ + а_{1} е^{- я 3 ю т / 2} | 1 ⟩

$\vert\Psi(t)\rangle= a_0e^{-i \omega t/2} \vert 0\rangle +a_1 e^{-i 3\omega t/2} \vert 1\rangle$ с

| n ⟩

$\vert n\rangle$ в

n

$n$ й гармонический осциллятор кет. Тогда ясно

\begin{aligned} я ℏ \frac{д}{д т} | Ψ (т) ⟩ & "=" \frac{ℏ ю}{2} а_{0} е^{- я ю т / 2} | 0 ⟩ + \frac{3 ℏ ю}{2} а_{1} е^{- я 3 ю т / 2} | 1 ⟩, \\ "=" \hat{ЧАС} | Ψ (т) ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} i\hbar \frac{d}{dt}\vert\Psi(t)\rangle &= \frac{\hbar\omega}{2} a_0e^{-i \omega t/2} \vert 0\rangle +\frac{3\hbar\omega}{2} a_1e^{-i 3\omega t/2} \vert 1\rangle \, ,\\ &=\hat H\vert\Psi(t)\rangle \end{align}$ но если

\hat{X} = a + a^{†}

$\hat X=a+a^\dagger$ затем

\begin{aligned} \hat{Икс} | Ψ (т) ⟩ & "=" е^{- я 3 ю т / 2} а_{1} | 0 ⟩ + а_{0} е^{- я ю т / 2} | 1 ⟩ + \sqrt{2} а_{1} е^{- я 3 ю т / 2} | 2 ⟩, \\ \hat{ЧАС} \hat{Икс} | Ψ (т) ⟩ & "=" е^{- я 3 ю т / 2} а_{1} \frac{1}{2} ℏ ю | 0 ⟩ + \frac{3}{2} ℏ ю а_{0} е^{- я ю т / 2} | 1 ⟩ + \frac{5}{2} ℏ ю \sqrt{2} а_{1} е^{- я 3 ю т / 2} | 2 ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} \hat X\vert\Psi(t)\rangle&= e^{-i 3\omega t/2} a_1\vert 0\rangle +a_0e^{-i \omega t/2} \vert 1\rangle +\sqrt{2}a_1e^{-i 3\omega t/2} \vert 2\rangle\, ,\\ \hat H\hat X\vert\Psi(t)\rangle&= e^{-i 3\omega t/2} a_1\textstyle\frac{1}{2}\hbar\omega\vert 0\rangle + \frac{3}{2}\hbar\omega a_0e^{-i \omega t/2} \vert 1\rangle + \frac{5}{2}\hbar\omega\sqrt{2}a_1e^{-i 3\omega t/2} \vert 2\rangle\\ \end{align}$ тогда как

\begin{aligned} я ℏ \frac{д}{д т} \hat{Икс} | Ψ (т) ⟩ & "=" \frac{3}{2} ℏ ю а_{1} е^{- я 3 ю т / 2} | 0 ⟩ + \frac{1}{2} ℏ а_{0} е^{- я ю т / 2} | 1 ⟩ + \frac{3 ℏ ю}{2} \sqrt{2} а_{1} е^{- я 3 ю т / 2} | 2 ⟩ . \end{aligned}

$\begin{align} i\hbar\frac{d}{dt}\hat X\vert\Psi(t)\rangle&= \textstyle\frac{3}{2}\hbar\omega a_1e^{-i 3\omega t/2}\vert 0\rangle + \frac{1}{2}\hbar a_0e^{-i \omega t/2} \vert 1\rangle +\frac{3\hbar\omega}{2}\sqrt{2}a_1e^{-i 3\omega t/2} \vert 2\rangle\, . \end{align}$

Изменить: в общем, начните с

\begin{aligned} | Ψ (т) ⟩ & "=" \sum_{н} | н ⟩ с_{н} е^{- я Е_{н} т / ℏ}, \\ (1) & Ом | Ψ (т) ⟩ & "=" \sum_{н м} | м ⟩ с_{н} {Ом}_{м н} е^{- я Е_{н} т / ℏ}, \end{aligned}

$\begin{align} \vert\Psi(t)\rangle&=\sum_n \vert n\rangle c_n e^{-iE_nt/\hbar} \, ,\\ \Omega\vert\Psi(t)\rangle&= \sum_{nm} \vert m\rangle c_n \Omega_{mn} e^{-iE_nt/\hbar}\, , \tag{1} \end{align}$ где

Ω_{m n} = ⟨ m | Ω | n ⟩

$\Omega_{mn}=\langle m\vert \Omega \vert n\rangle$ .

Теперь начните с (1) и сравните

\begin{aligned} (2) & я ℏ \frac{д}{д т} Ом | Ψ (т) ⟩ & "=" \sum_{н м} | м ⟩ с_{н} {Ом}_{м н} Е_{н} е^{- я Е_{н} т / ℏ}, \\ (3) & ЧАС Ом | Ψ (т) ⟩ & "=" \sum_{м н} | м ⟩ с_{н} {Ом}_{м н} Е_{м} е^{- я Е_{н} т / ℏ} \end{aligned}

$\begin{align} i\hbar\frac{d}{dt}\Omega \vert\Psi(t)\rangle &= \sum_{nm} \vert m\rangle c_n \Omega_{mn} E_n e^{-iE_n t/\hbar} \, , \tag{2}\\ H\Omega\vert\Psi(t)\rangle&=\sum_{mn} \vert m\rangle c_n \Omega_{mn} E_m e^{-iE_nt/\hbar} \tag{3} \end{align}$ и вы можете видеть, что разница между (2) и (3) возникает потому, что

H

$H$ «видит»

| m ⟩

$\vert m\rangle$ и возвращает коэффициент

E_{m}

$E_m$ но производная по отношению к

t

$t$ «видит» фактор

e^{- i E_{n} t / ℏ}

$e^{-iE_nt/\hbar}$ и поэтому возвращает коэффициент

E_{n}

$E_n$ вместо.

Спасибо! Я понимаю пример, но почему это так $Ом | ψ ⟩$ $\Omega|\psi\rangle$ не является решением зависящего от времени уравнения Шрёдингера? не могли бы вы дать ссылку, пожалуйста?
@SparshMishra Нет причин полагать, что это будет решением. Конечно, если $\Omega$ и $H$ ехать - другое дело.
@SparshMishra Я немного добавил, чтобы вы могли понять, почему в целом это не работает.

Дж. Г. · Answer 2

Проблема в уравнении. (5). Решения TDSE не включают все векторы в гильбертовом пространстве. Если вы пишете $|\psi\rangle$ как суперпозиция собственных состояний гамильтониана, вы можете доказать (5) при условии, что коэффициенты не зависят от времени, что в общем случае неверно.

Ммм_Паста · Answer 3

У вас есть ошибка в (2) и (5). В (2) вы берете производную по времени от оператора, действующего на состояние кет. При выборе этой производной по времени подумайте о правиле произведения для дифференцирования. В итоге вы получите частную производную оператора по времени и оператор, действующий на частную производную по времени состояния ket.

Да, я это понимаю, но что не так с методом, который я разместил?

Проблема при выводе теоремы Эрефеста

Спарш Мишра

Ответы (3)

ZeroTheHero

Спарш Мишра

ZeroTheHero

ZeroTheHero

Дж. Г.

Ммм_Паста

Спарш Мишра

Задача с доказательством теоремы Эренфеста

Производная унитарного оператора временной эволюции

Справедливо ли это соотношение для производной оператора по времени?

Почему производная по времени не считается оператором в квантовой механике? [дубликат]

Ожидаемое значение производной по времени от оператора по сравнению с производной по времени после оператора

Какое уравнение Шрёдингера верно? [дубликат]

Существует ли оператор времени в квантовой механике?

Уравнение Шредингера для атома водорода

Оператор обращения времени и вращения

Это полная или явная производная по времени в уравнении Шредингера?