Справедливо ли это соотношение для производной оператора по времени?

Вывод теоремы Эренфеста, который я видел, использует цепное правило через г г т ⟨ ψ | А ^ | ψ ⟩ давая три термина: ( г г т ⟨ ψ | ) А ^ | ψ ⟩ + ⟨ ψ | ∂ А ^ ∂ т | ψ ⟩ + ⟨ ψ | А ^ ( г г т | ψ ⟩ ) Среди них тот, что посередине, включает производную от оператора А ^ .

После использования TDSE мы в конечном итоге получаем:

(0) г г т ⟨ ψ | А ^ | ψ ⟩ "=" 1 я ℏ ⟨ [ А ^ , ЧАС ^ ] ⟩ + ⟨ ∂ А ^ ∂ т ⟩

Теперь, из-за отсутствия у меня интуиции относительно того, что означает производная от оператора, я попытался применить цепное правило вместо этого следующим образом:

(1) г г т ⟨ ψ | А ^ ψ ⟩ "=" ( г г т ⟨ ψ | ) А ^ ψ ⟩ + ⟨ ψ | г г т ( А ^ | ψ ⟩ )

Сейчас если г г т это просто еще один оператор, должно выполняться следующее:

(2) г г т А ^ "=" [ г г т , А ^ ] + А ^ г г т

Поэтому:

(3) г г т ⟨ ψ | А ^ ψ ⟩ "=" ( г г т ⟨ ψ | ) А ^ ψ ⟩ + ⟨ ψ | А ^ г г т | ψ ⟩ + ⟨ ψ | [ г г т , А ^ ] | ψ ⟩

Теперь, используя TDSE, первое и второе слагаемые можно записать так:

(4) ( г г т ⟨ ψ | ) А ^ ψ ⟩ + ⟨ ψ | А ^ г г т | ψ ⟩ "=" ⟨ ψ | − ЧАС ^ я ℏ А ^ | ψ ⟩ + ⟨ ψ | А ^ ЧАС ^ я ℏ | ψ ⟩ "=" 1 я ℏ ⟨ ψ | [ А ^ , ЧАС ^ ] | ψ ⟩

Таким образом:

(5) г г т ⟨ ψ | А ^ ψ ⟩ "=" 1 я ℏ ⟨ ψ | [ А ^ , ЧАС ^ ] | ψ ⟩ + ⟨ ψ | [ г г т , А ^ ] | ψ ⟩ "=" 1 я ℏ ⟨ [ А ^ , ЧАС ^ ] ⟩ + ⟨ [ г г т , А ^ ] ⟩

Теперь, если теорема Эренфеста верна и мой вывод верен, это, по-видимому, предполагает, что ⟨ ∂ А ^ ∂ т ⟩ "=" ⟨ [ г г т , А ^ ] ⟩

Правильно ли это соотношение? Могу ли я вообще понять производную оператора по времени через его коммутатор с г г т ?

Производная по времени не является оператором в гильбертовом пространстве. Поэтому ваш коммутатор не имеет смысла. См., например , этот пост PSE и ссылки в нем.
Я спустился в кроличью нору и вышел из нее гораздо богаче пониманием. Спасибо, что указали мне правильное направление @Jakob. Поскольку ваш ответ является комментарием, а не ответом, я не могу пометить вопрос как отвеченный. Должен ли я удалить этот вопрос, или просто оставить его как есть?
Я разместил комментарий как ответ. Не удаляйте вопрос, потому что он может быть полезен для будущих читателей. Вы также можете ответить на свой вопрос, т.е. написать ответ самостоятельно и включить более подробную информацию и т. д.
Попался'. Не очень хорошо знаком с SE, так что спасибо за помощь и с этой стороны! Отметил ваш ответ как правильный.

Ответы (1)

Производная по времени не является оператором в гильбертовом пространстве. Поэтому ваш коммутатор не имеет смысла. См., например , этот пост PSE и ссылки в нем.

Справедливо ли это соотношение для производной оператора по времени?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v