Задача с доказательством теоремы Эренфеста

В моей книге по квантовой механике есть доказательство теоремы Эренфеста: пусть А быть наблюдаемым и А ^ оператор, который его представляет. Тогда у нас есть

г г т ⟨ А ^ ⟩ "=" я ℏ ⟨ [ ЧАС ^ , А ^ ] ⟩ + ⟨ ∂ А ^ ∂ т ⟩ .
Доказательство:
г г т ⟨ А ^ ⟩ "=" г г т ⟨ Ψ | А ^ Ψ ⟩ "=" ⟨ ∂ Ψ ∂ т | А ^ Ψ ⟩ + ⟨ Ψ | ∂ А ^ Ψ ∂ т ⟩ "=" ! ⟨ ∂ Ψ ∂ т | А ^ Ψ ⟩ + ⟨ Ψ | А ^ ∂ Ψ ∂ т ⟩ + ⟨ Ψ | ∂ А ^ ∂ т Ψ ^ ⟩ .
Я не могу понять, как оценить термин ∂ А ^ ψ ∂ т . А ^ является оператором, если у нас есть мультипликативный оператор, такой как потенциал, то результат тривиален и следует из применения правила произведения.

Как распространить это правило продукта как результат на общий оператор А ^ хотя?

Ответы (2)

Рассмотрим гармонический потенциал с постоянной К что явно зависит от времени:

U ( т , Икс ) "=" К ( т ) 2 Икс 2 .
Следующее определение
А ( т ) "=" − ℏ 2 2 м г 2 г Икс 2 + U ( т , Икс ) .
Здесь указанная вами производная дает вклад. Другая возможность м "=" м ( т ) , что приводит к временной зависимости в операторе кинетической энергии, которая не является мультипликативной, как вы хотели.

Хорошо, это один из случаев, когда у меня возникают проблемы Что значит взять производную от оператора ∂ А ^ ∂ т ?
Представьте, что оператор является функцией времени. А : р → л , т → А ( т ) , должно быть понятно, что имеется в виду под А ′ ( т ) ? @Носорог
Хорошо, это функция, которая дает оператор для любого значения ov т , но почему ∂ А ^ Ψ ∂ т "=" ∂ Ψ ∂ т А ^ + ∂ А ^ ∂ т Ψ ?
Чтобы вычислить производную оператора параметрически в зависимости от т вы можете использовать сильную или слабую топологию оператора. Здесь достаточно слабого.
Можете написать более развернутый ответ? Я не знаю, что такое топология оператора.
А н → А сильно, если А н ф → А ф для всех ф . Сходным образом А н → А слабо, если ⟨ г , А н ф ⟩ → ⟨ г , А ф ⟩ для всех г , ф . Соответственно определяются производные.

Давайте пройдемся по доказательству для завершения.

г ⟨ А ⟩ г т "=" г г т ⟨ ψ | А | ψ ⟩

Применение правила произведения дает

г г т ⟨ ψ | А | ψ ⟩ "=" г ⟨ ψ | г т А | ψ ⟩ + ⟨ ψ | г А г т | ψ ⟩ + ⟨ ψ | А г | ψ ⟩ г т

Теперь, чтобы раскрыть некоторую информацию, мы рассмотрим уравнение Шредингера, зависящее от времени,

ЧАС | ψ ⟩ "=" я г | ψ ⟩ г т

Мы можем записать первые два члена как:

г ⟨ ψ | г т А | ψ ⟩ + ⟨ ψ | г А г т | ψ ⟩ "=" я ⟨ ψ | ЧАС А | ψ ⟩ + − я ⟨ ψ | А ЧАС | ψ ⟩
"=" я [ ЧАС , А ]

Таким образом, мы имеем теорему Эренфеста

г г т ⟨ А ⟩ "=" я [ ЧАС , А ] + ⟨ ψ | г А г т | ψ ⟩

Некоторые примечания по этому поводу, которые касаются ваших проблем:

В рамках картины Шредингера мы предполагаем А ≠ А ( т ) т.е. все время зависимость находится в состоянии | ψ ⟩ "=" | ψ ( т ) ⟩ . Значение выражений упрощается до коммутатора гамильтониана.

Но если перейти к картине Гейзенберга, то есть явная временная зависимость от оператора. Это означает, что производная хорошо определена и, следовательно, должна быть рассмотрена.

Задача с доказательством теоремы Эренфеста
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v