Означает ли смещение уровня энергии Ферми собственного полупроводника, что n≠pn≠pn \neq p?

В книгах, с которыми я ознакомился, подчеркивалось, что для собственного полупроводника н "=" п .

Однако, имея это в виду, они также выводят следующее уравнение:

Е Ф я "=" Е с + Е в 2 + 3 4 к Б Т п ⁡ ( м час * м е * ) ( 1 )
Какой будет энергетический уровень Ферми собственного полупроводника в зависимости от температуры. Это означает, что для собственного полупроводника Е Ф был бы немного смещен от центра, если бы массы дырок и электронов были разными (вообще они разные).

Это имеет значение, если мы хотим вычислить н и п , которые не были бы равны, потому что они зависят от этого уровня энергии. Я предполагаю, что это противоречие, потому что вы начинаете с предположения н "=" п но если вы хотите вычислить их, используя (1), вы получите их н ≠ п . Почему это? Какой из них правильный?

Пропустите следующий вывод, если вы уже знаете зависимость н и п на Е Ф .

н "=" 2 ∫ Е с ∞ г с ( Е ) 1 + е Е − Е Ф к Б Т   г Е "=" 2 ∫ Е с ∞ г с ( Е ) 1 + е Е − Е с + Е с − Е Ф к Б Т   г Е
Изменение переменных: Икс "=" Е − Е с к Б Т и ξ н "=" Е с − Е Ф к Б Т ; и предположим, что для двумерного полупроводника г 2 Д не зависит от Е:
н "=" 2 г 2 Д к Б Т ∫ 0 ∞ 1 1 + е Икс е ξ н   г Икс
То же самое относится к p, используя те же аргументы и с ξ п "=" Е Ф − Е в к Б Т :
п "=" 2 ∫ − ∞ Е в г с ( Е ) 1 + е Е Ф − Е к Б Т   г Е "=" 2 г 2 Д к Б Т ∫ 0 ∞ 1 1 + е Икс е ξ п   г Икс
Итак, в итоге имеем
н "=" Ф 0 ( ξ н ) а н г п "=" Ф 0 ( ξ п ) , ξ н ≠ ξ п
где Ф Дж ( − ξ ) - полный интеграл Ферми – Дирака.

Если эффективные массы неодинаковы (обычно верно), то энергия Ферми изменяется с температурой.
@JonCuster Я уже сказал это в посте, мой вопрос в том, подразумевает ли это p≠n.

Ответы (1)

Ваше уравнение 1 было получено с приближением для интеграла Ферми-Дирака и было получено для 3D. То есть использовали Ф 1 2 ( η с ) ≈ π 2 е η с , что подходит для многих интересных ситуаций. Вы не получаете ожидаемого ответа, потому что работаете в 2D (и не делаете такого же приближения). Для справки см. разделы 2.5.1 и 2.5.6 «Основы полупроводниковых устройств» Робера Пьерре .

FWIW, в 2D вы можете точно определить соответствующий интеграл Ферми-Дирака , поэтому я не думаю, что есть необходимость в приближении. Тем не менее, я не знаю двумерного эквивалента вашего первого уравнения навскидку. Однако его должно быть просто вывести, следуя шагам в Пьере. Я предполагаю, что это где-то в книге Джона Дэвиса « Физика низкоразмерных полупроводников» , но у меня нет под рукой этой копии.

Я пролистал несколько страниц книги Джона Дэвиса и думаю, что это, безусловно, мне очень поможет, так как проблема, с которой я столкнулся, была в 2D, спасибо. Дело в том, что даже для трехмерного внутреннего полупроводника вам все равно придется дать Ф 1 / 2 аргумент, который отличается для p и n, в результате чего n ≠ p, и это все еще не дает мне покоя.
Причина, по которой аргументация для электронов и дырок различна, заключается в том, что дырка — это отсутствие электрона. Итак, если электроны имеют некоторое распределение ф ( Е ) , то дырки имеют распределение 1 − ф ( Е ) . Поскольку распределение является распределением Ферми-Дирака, можно показать, что 1 − ф ( Е ) "=" ф ( − Е ) . Другими словами, дырки имеют перевернутый знак в аргументе. Этот перевернутый знак переносится на интегралы Ферми-Дирака, и в этом, по сути, разница аргументов. Для справки о перевороте знака см. Принципы теории твердых тел Дж. М. Зимана, раздел 4.6.
Я добавлю, что этот раздел в Ziman является хорошим справочником по многим вещам, обсуждаемым здесь. Он охватывает в основном то же, что и Пьере, но более строго и компактно. (Неудивительно, поскольку книга Зимана предназначена для аспирантов — в основном того же уровня, что и Эшкрофт и Мермин, — а Пьере предназначена для студентов.)
я подумал 1 − ф ( Е ) "=" ф ( − Е ) в выводе обратите внимание, что внутри экспоненты н есть Е − Е Ф и п имеет Е Ф − Е .
Хорошо, я преодолел свою проблему. Я предполагал, что г 2 Д было одинаковым в обоих случаях, но если у вас есть м е ≠ м час настолько различны, что имеют достаточно большой вклад в логарифм (выражение для Е Ф я действительно отличается в 2D) тогда разница г н ≠ г п также будет достаточно большим, чтобы изменить n и p. Фактически ξ н ≠ ξ п и г н ≠ г п но смешивая все это, вы получаете н "=" п , что является прекрасным ответом.
Означает ли смещение уровня энергии Ферми собственного полупроводника, что n≠pn≠pn \neq p?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v