Локализованы ли электронные волновые функции в изоляторах с запрещенной зоной? достаточно ли в этом случае одночастичной картины?

Глубокое понимание Андерсона состоит в том, что разница между изоляторами и проводниками не в энергетическом спектре. На самом деле вся картина, которую нам преподают на вводных курсах, вводит в заблуждение. [Примечание: все, о чем я буду говорить, будет касаться эффектов отдельных частиц, поэтому никакого взаимодействия.]

Сначала давайте просто вспомним вступительную картинку. У нас есть идеальный кристалл, поэтому мы получаем энергетические полосы. Мы заполняем эти полосы электронами. В случае частичного заполнения полосы получается проводник. В случае, когда все наши зоны полностью заняты, так что уровень Ферми лежит в щели, мы получаем изолятор.

Теперь о проблемах: конечная проводимость полностью зависит от примесей. В отсутствие примесей импульс полностью сохраняется. Если я дам перевозчикам какой-то импульс, они его никогда не потеряют. Следовательно, конечный ток никогда не может рассеяться, что равносильно утверждению, что сопротивление равно нулю. Поскольку при любой отличной от нуля температуре всегда будут какие-то носители, то при отсутствии примесей все материалы будут «идеальными проводниками».

Итак, ясно, что для того, чтобы иметь хоть какой-то смысл, нам нужно добавить примеси. Однако, если мы добавим примеси, красивая картина энергетического диапазона исчезнет. Поскольку мы только что добавили случайные вещи в наш гамильтониан, нет никаких причин, по которым мы не сможем найти состояние любой энергии, если будем искать достаточно внимательно. Очевидно, что в том, что раньше было полосами, будет больше состояний, но также будут и состояния в промежутке. Короче говоря, полосы будут сливаться вместе.

Но если полосы смыкаются, то больше не существует понятия промежутка — так что же может разделить изоляторы и проводники? Это не электронный энергетический спектр, это сама электронная волновая функция. Поскольку больше нет трансляционной симметрии, они не ограничиваются блоховской формой. Есть две основные возможности:

1) Волновые функции вблизи уровня Ферми вытянуты, т. е. их величина примерно постоянна по всей системе, подобно плоской волне. Это проводник.

2) Волновые функции вблизи уровня Ферми локализованы, т.е. их величина затухает примерно экспоненциально при выходе из некоторой точки. Это изолятор.

Это то, что собственно отличает изоляторы и проводники. Возвращаясь к классификации материалов по запрещенной зоне — почему она в основном работает? Причина в том, что если к идеальному кристаллу добавить беспорядок, то состояния, которые добавляются в щель и вблизи краев зон, обычно являются локализованными состояниями, поэтому размышления о щелях приводят к правильному ответу. Но это не прямой физический механизм.

Я думаю, вы не на 100% понимаете "простой случай" идеального кристалла без электрон-электронных или электрон-фононных взаимодействий.

Допустим, этот кристалл имеет полные зоны , полную валентную зону и пустую зону проводимости. Скажем, в валентной зоне находится N электронов (N — какое-то огромное число), по одному на каждое из N состояний валентной зоны. В терминах линейной алгебры электронные состояния в валентной зоне образуют N-мерное пространство кетов. Это пространство, как и любое пространство в линейной алгебре, имеет бесконечно много различных баз. Он имеет базис из N блочных состояний, которые делокализованы, а также, скажем, базис из N орбиталей Ванье, которые все локализованы.

Вы можете сказать: «В каждом делокализованном блочно-состоянии валентной зоны есть электрон». Да, ты прав. Я могу сказать: «В каждом локализованном более слабом состоянии валентной зоны есть электрон». Я тоже прав. Электроны неразличимы, в этой ситуации бессмысленно относить отдельные электроны к отдельным состояниям и говорить, локализованы они или нет.

Следовательно, сам материал в его идеально изолирующем состоянии не показывает нам, имеет ли смысл думать об электронах как о локализованных или нет. С другой стороны, если есть, скажем, электрон в зоне проводимости, вы можете посмотреть, локализован он или нет.

Изоляторы, такие как сапфир, обычно описываются как имеющие локализованные электроны, потому что , когда через них проходит ток, обычно это происходит через электроны, которые в процессе движения занимают локализованные волновые функции. Это не потому, что теорема Блоха неприменима. (Хотя это может быть неприменимо.) Они могут иметь некоторый ток из-за того, что электроны также занимают делокализованные состояния, но обычно это гораздо меньший вклад в ток, чем электроны, занимающие локализованные состояния в ходе своего движения (прыжки / поляроны / локализованные по Андерсону). , что бы ни).

Нет, электроны не локализованы. Изоляция — это эффект, обусловленный свойствами энергии/зонной структуры. Орбитали Кона-Шама (орбитали в ленточной структуре) в общем случае делокализованы.