Заполненная полоса не может генерировать ток

$\mathbf{v}_g(\mathbf{k})$скорость электрона в состоянии$\mathbf{k}$. Полный ток, переносимый всеми электронами, получается путем интегрирования по всем заполненным состояниям зоны Бриллюэна:

$$\mathbf{j}\propto \int_{\text{BZ}}\mathbf{v}_g(\mathbf{k})n(\mathbf{k})d^3\mathbf{k},$$ Во многих расчетах$n(\mathbf{k})$просто функция Ферми $$n(\mathbf{k}) =\frac{1}{e^{\beta(E(\mathbf{k})-\mu)}+1},$$ однако, когда мы говорим о полностью заполненной зоне при нулевой температуре, коэффициент заполнения равен$1$везде в зоне Бриллюэна, т. е. наш интеграл становится просто $$\mathbf{j}\propto \int_{\text{BZ}}\mathbf{v}_g(\mathbf{k})d^3\mathbf{k} = 0,$$ так как, если бы он был ненулевым, у нас был бы ненулевой ток.

Пример.
Рассмотрим одномерную цепь с сильными связями с законом дисперсии

$$E(k)=-\Delta\cos(ka),$$ где$2\Delta$ширина полосы и$a$- шаг решетки.
Зона Бриллюэна это $$-\frac{\pi}{a}\leq k \leq \frac{\pi}{a},$$ тогда как групповая скорость электрона $$v_g=-\frac{1}{\hbar}\frac{\partial E(k)}{\partial k}= \frac{\Delta a}{\hbar}\sin(k a)$$ Интеграл $$\int_{BZ} v_g(k)dk=\int_{-\frac{\pi}{a}}^{\frac{\pi}{a}}\frac{\Delta a}{\hbar}\sin(k a) dk$$ равен нулю, так как является интегралом по нечетной функции в симметричных пределах.