«Парадокс» когерентизма?

Предостережение

Я не логик, поэтому приложу все усилия. Критика утверждений приветствуется.

Короткий ответ

Не превращается ли когерентизм в форму фундаментализма, где фундаментальные предпосылки касаются отношений когерентности?

Да. Модель в математической логике - это использование одной формальной системы для обоснования истин второй формальной системы путем перевода истинности второй в первую способом, подобным различиям использования-упоминания в естественном языке. Внутренняя система является объектным языком внешнего, метаязыка, где язык в формальном смысле берется как синтаксическая конструкция формальной грамматики, обеспечивающая правильность построения. Связь между объектным языком и метаязыком заключается в том, что грамматика метаязыка должна быть более выразительной, чем объектная грамматика. Такова природа основания истины. Объектно-формальная система используется для дедуктивного доказательства истин, тогда как метаформальная система используется для доказательства непротиворечивости .выводов объектной системы дедуктивно. Перечитайте это, потому что это сбивает с толку просто писать.

Итак, в простом примере наивной теории множеств базовые сущности, отношения и операции могут использоваться для доказательства теорем. Но чего они не могут сделать, так это последовательно доказать теоремы, поскольку система порождает противоречия. Но альтернативный подход состоит в том, чтобы предоставить аксиомы, которые не исключают множества, содержащие сами себя, причем ZFC является исторически вдохновленной стандартной формой. Это работает, потому что теория множеств — это один язык, а логика аксиом — на другом языке; Говорят, что теория множеств и арифметика основаны на логике. Таким образом, теория множеств производит непротиворечивые теоретико-множественные истины (философская согласованность), когда она переводится в фундаментальные истины FOPC (философский фундаментализм).

Длинный ответ

Формальные системы и языки

Как правило, логики рассматривают формальные системы как нечто большее, чем набор предложений, которые посредством логики выводят одно предложение, проект, начатый Фреге. Но понятие формальной системы само по себе вычислимо, и оно могло бы дать некоторое представление, поскольку вы говорили о знаках. Знаки в интуитивном смысле лучше всего представляются строками символов для вычислительных целей, что обосновывает понятие знака в понятии строки в информатике. Мы можем рассматривать это как один из возможных формализмов для представления формальной системы. (Возможно формализовать понятия алфавитов, формальных языков и автоматов с гораздо большей сложностью, чем то, что следует ниже, что является кратким изложением.)

Начнем с формального понятия формальной системы. Формальную систему можно рассматривать как набор грамматически определенных строк (предложений), синтаксически построенных из формального языка, который объединяет строку символов из алфавита. В компьютерных науках одним из популярных способов выражения контекстно-свободных грамматик (вы должны изучить иерархию Хомского, чтобы лучше понять, что это означает) является форма Бэкуса-Наура . Бэкус-Наур дает базовый пример того, как правильность формы может быть определена вычислительным путем. Как только формальный язык включает в свою грамматику логические связки, он может использовать что-то вроде modus ponens.итеративно, чтобы прийти к выводу, итеративно сводя строки или, скорее, предложения к окончательному предложению. Таким образом, мы идем от антецедентов к следствиям.

В настоящее время цели математической логики по обеспечению строгости формальной системы опираются на метаязык, экспрессивность которого выше, чем у объектного языка, и поэтому связность объектного языка устанавливается аксиоматическими основаниями метаязыка. Объектный язык обычно характеризуется как синтаксический и использует синтаксический турникет ^1., абстрагирован и имеет дело с доказуемостью, а не с выполнимостью, в то время как метаязык является семантическим и использует семантический турникет, является более конкретным и имеет дело с непротиворечивостью и разрешимостью объектного языка. Таким образом, объектный язык является дедуктивным инструментом для проверки утверждения, выходящего из одной аксиоматической базы, которая в первую очередь построена для демонстрации выполнимости предложений, что, говоря философски, является примером истины, полученным из предложений системы, в то время как метаязык стремится гарантировать утверждения о утверждениях предметного языка, т. е. непротиворечивые (математическая согласованность), но основанные на системе, которая говорит о природе исходной истины с прицелом не только на достоверность вывода на уровне объекта (доказуемость), но достоверность всей системы по ряду переменных в области дискурса, показывающая, что система не является непоследовательной при доказательстве истин (последовательность). Мост между двумя языками находится в теории истины Тарского, которая использует Т-предложение, чтобы показать, что существует перевод истины с предметного языка на объектный язык, откуда происходит понятие дефляционной истины.

Итак, между двумя языками обязательно есть две разные грамматики, и важно помнить, что грамматика метаязыка должна быть более выразительной, чем объектный язык. На языке формальных языков это просто означает, что правильно сформированные строки объектного языка должны быть подмножеством правильно сформированных строк метаязыка. Помните, что в Т-предложении использование строковых разделителей (иногда называемых escape-последовательностями, кавычками и т. д., такими как апострофы, кавычки и т. д.) позволяет Т-предложению (метод Тарского обосновать истинность биекции из одного языка). к другому) является примером различия использования-упоминания и используется для содержания предложений предметной строки в предложении метаязыка. Пример Тарского из Logic, Semantics, Meta-Metamathematics, p. 156:

(3) «Идет снег» является истинным предложением тогда и только тогда, когда идет снег.

Вы можете видеть, что «идет снег» — это предложение, и его достоверность оценивается с помощью биусловной логической связки, которая не обязательно должна быть частью разговора, то есть языка, используемого при обсуждении состояния погоды. Задача разбора этого предложения облегчается цитированием, но, очевидно, не является частью разговорного языка. (В лингвистике это явление называется встраиванием по центру и без разделителей может привести к путанице.)

Теперь мы видим, что преимущество использования теории моделей очевидно. Это позволяет разрешать парадоксы одного набора аксиом путем добавления дополнительных аксиом вместо изменения исходных аксиом формальной системы, и в то же время позволяет говорить о диапазоне результатов формальной системы, при этом полностью исследуя понятия рекурсии, разрешимости, вычислимости и т.д. Происхождение этой повышенной сложности было ответом на парадокс лжеца, формализованным Расселом, и попыткой обосновать теорию множеств в логике ее аксиом, что привело к ZF, а затем и к ZFC. Оттуда расцвели другие теории множеств, такие как NBG.

Таким образом, не имеет значения, берете ли вы пример из теории множеств, теории графов или даже из геометрии. Когда у вас есть один язык, например, FOPC, и вы начинаете исследовать, согласуются ли выводы, сделанные в этом языке, вам нужно ввести новые идеи, чтобы доказать согласованность, которая обязательно находится за пределами FOPC. И в тот момент, когда вы начинаете формализовать этот процесс, вы в конечном итоге подключаетесь к таким идеям, как метаматематика, металогика и метаязыки, из-за рекурсивного характера, связанного с использованием предложений первого языка внутри более выразительного второго языка, используемого для понимания. оценить это. Итак, слава вам за то, что вы признали существование эпистемологического когерентизма, который «схлопывается» в форму фундаментализма, где фундаментальные предпосылки касаются отношений когерентности. Что'

¹ _{Одинарно-двойной турникет является текущей нормой в математической логике, но те же самые идеи могут быть переданы на естественном языке, одинарными-двойными стрелками или, согласно соглашению WP, одинарным-одинарным турникетом.}