Доказуемо ли, что эпистемически возможное (возможное, насколько мне известно) не подразумевает возможного?

Ваш пример связан с так называемым «парадоксом познаваемости» в отношении предложений вида «p, но p неизвестно», на который указал Черч в 1945 году. Предложения Черча непротиворечивы, но простое рассуждение показывает, что они не могут быть известное для любого п. В самом деле, если известно предложение Черча, то известно и р, но также известно, что р неизвестно, что несвязно. Другими словами, если есть неизвестные истины (те, которые никогда не становятся известными, если мы мыслим временно), то есть непознаваемые истины. Черч, возможно, был вдохновлен парадоксом Мура , предложенным в 1942 году, с такими предложениями Мура, как « Я ходил в кино в прошлый вторник, но я не верю, что ходил».«. Однако точка зрения Мура была другой: такие предложения создают противоречие всякий раз, когда они произносятся, потому что (честное) высказывание требует веры.

Если кто-то принимает эпистемологию, согласно которой нет непознаваемых истин (например, интуитивизм), то он должен признать, что ничто неизвестное не может быть истинным (или можно принять некоторую нетрадиционную эпистемологическую логику). Говоря положительно, «если p истинно, то p известно», вывод, который вы используете, заключается в том, что с p = «X невозможно». Это непопулярно, но не так безумно, как кажется. Вера в непознаваемые или трансцендентные истины является отличительной чертой реализма. Антиреалисты(о конкретной области) налагают на знания строгие теоретико-доказательные требования, так что ничто, не снабженное доказательством, не считается истинным, а все, что снабжено доказательством, конечно, будет известно как истинное. В этой модели истины, если X невозможно, то вы уже это знаете, а если нет, то утверждение не имеет истинностной ценности. Вот почему интуиционисты и антиреалисты отвергают закон исключенного третьего: мы не можем знать, что р или не р, не зная чего, иначе мы допускаем непознаваемые истины. Если кто-то принимает такое понятие истины, то эпистемически возможное подразумевает возможное (и, таким образом, противоположное ложно и, следовательно, недоказуемо), но тогда кажется, что нет особого смысла различать эпистемически возможное и просто возможное.

Примерно такой позиции в отношении математики занимал Витгенштейн в свой промежуточный период, по его словам, « математическое суждение есть намек на доказательство ». Согласно прочтению Шанкера, для Витгенштейна недоказанные предположения не имеют значения истинности, потому что они не имеют смысла. Вот комментарий к диссертации Маттиассона :

Витгенштейн отказался от мнения, что язык имеет одну базовую логику или исчисление. Теперь он считал, говорит Шанкер, что язык состоит из «сложной сети взаимосвязанных исчислений: автономных «пропозициональных систем», каждая из которых составляет отдельное «логическое» пространство».

[...] Отношение доказательства к его предложению является внутренним и создает смысл математического предложения, т. е. роль доказательства состоит не просто в том, чтобы убедить своего читателя в истинности доказываемого предложения (что было бы внешним отношением на этой картинке), но необходимо для установления самого смысла доказываемого предложения — доказательство, таким образом, является существенной частью доказываемого им предложения.

[...] Это, конечно, сразу же поднимает следующую проблему: если значение математического предложения зависит от его доказательства, математическая гипотеза меняет свое значение, когда она была доказана. Отсюда следует, что математическая гипотеза никогда не может быть доказана (поскольку доказываемое предложение не совпадает с предположением). Для Шанкера догадки, строго говоря, бессмысленны, но дают математику «стимул» к выдвижению доказательства и тем самым к новому исчислению. "