Передаваемая мощность и противоречие теоремы Пойнтинга?

Если импедансы сложные, это означает, что у вас есть диссипативные условия. Например, если проблема была в нормальном падении из вакуума в проводник, то сохранение энергии не так просто, как сказать, что (величина) вектора Пойнтинга падающей волны равна сумме векторов Пойнтинга в прошедшей и отраженной волнах.

В проводнике есть${\bf E} \cdot {\bf J}$член, который должен быть включен в любой расчет сохранения энергии, потому что передаваемое электрическое поле действительно работает с зарядами проводимости (не в том случае, если импедансы реальны).

Например, в проводящем материале со сложным волновым вектором электрическое поле может иметь вид

Дивергенция этого не равна нулю, что говорит вам о том, что вектор Пойнтинга не является сохраняющейся величиной, поэтому вы не можете просто приравнять суммы векторов Пойнтинга.

Я вернулся к этой проблеме через несколько лет и, наконец, понял, что не так.

Во-первых, векторы Пойнтинга действительно сохраняются на границе (помещенной в$z = 0$), но вы не можете использовать$\vec{S}_{1i}$и$\vec{S}_{1r}$векторы независимо в уравнении сохранения энергии. Это происходит из-за интерференции между падающей и отраженной волнами, что приводит к образованию стоячей волны в среде 1, средняя интенсивность которой зависит от положения.

Как правило, интерференционные эффекты приводят к тому, что интенсивность суммы двух волн отличается от суммы интенсивностей двух волн. Вмешательство означает, что вы не можете просто сказать$\langle S_{1i}\rangle = \langle S_{1r}\rangle + \langle S_2\rangle$или$(1 - |\Gamma|^2)\langle S_{1i}\rangle = \langle S_2\rangle$

Позволять$\vec{S}_1$— общий вектор Пойнтинга в среде 1, а$\vec{S}_2$то же самое для среды 2.

По определению,$\vec{S}_1 = \vec{E}_1 \times \vec{H}_1$где$\vec{E}_1$,$\vec{H}_1$– суммарные электрические и магнитные поля в среде 1. В предположении, что на границе раздела сред 1 и 2 нет токовых слоев ($\vec{K}_s = \vec{0}$), то из граничных условий следует, что$\vec{E}_1 = \vec{E}_2$и$\vec{H}_1 = \vec{H}_2$. Поэтому мы, очевидно, также должны иметь$\vec{S}_2 = \vec{S}_1$, а интенсивность сохраняется по всему интерфейсу (в$z = 0$).

Это означает, что мы все еще должны быть в состоянии сказать, что$\langle S_1\rangle = \langle S_2\rangle$(в$z = 0$, снова). Итак, как правильно найти$\langle S_1\rangle$данный$\langle S_{1i}\rangle$?

Падающая волна в среде 1 распространяется в$\hat{z}$направление, с$\vec{E}_{1i}$в$\hat{x}$и$\vec{H}_{1i}$в$\hat{y}$. Более того, в векторной форме мы знаем, что$\mathbf{H}_{1i} = \frac{\mathbf{E}_{1i}}{\eta_1}$

Отраженная волна в среде 1 распространяется в$-\hat{z}$направление, с$\vec{E}_{1r}$снова в$\hat{x}$. Из этого следует$\vec{H}_{1r}$в$-\hat{y}$, потому что направление волны изменилось. Таким образом, в векторной форме мы имеем$\mathbf{H}_{1r} = -\frac{\mathbf{E}_{1r}}{\eta_1}$. Кроме того, мы знаем, что$\mathbf{E}_{1r} = \Gamma\mathbf{E}_{1i}$, и поэтому$\mathbf{H}_{1r} = -\Gamma\mathbf{H}_{1i}$.

Тогда общие вектора в среде 1 равны$\mathbf{E}_1 = \mathbf{E}_{1i} + \mathbf{E}_{1r} = (1 + \Gamma)\mathbf{E}_{1i}$и$\mathbf{H}_1 = \mathbf{H}_{1i} + \mathbf{H}_{1r} = (1 - \Gamma)\mathbf{H}_{1i}$.

Следовательно, вектор Пойнтинга в векторной форме равен$\mathbf{S}_1 = \frac{1}{2}\mathbf{E}_1\times\mathbf{H}_1^* = \frac{1}{2}(1 + \Gamma)(1 - \Gamma^*)\mathbf{E}_{1i}\times\mathbf{H}_{1i} = (1 + \Gamma)(1 - \Gamma^*)\mathbf{S}_{1i}$

Обратите внимание, что$\mathbf{S}_1 = (1 - |\Gamma|^2)\mathbf{S}_{1i} + 2j\Im\{\Gamma\}\mathbf{S}_{1i}$, так что помимо$(1 - |\Gamma|^2)$фактор, обусловленный эффектом интерференции. Когда$\Gamma$и$\mathbf{S}_{1i}$имеют мнимые компоненты (т.е. когда$\frac{\eta_2}{\eta_1}$не настоящий и$\eta_1$не является действительным) мы получаем ненулевой вклад в действительную часть вектора Пойнтинга. Поэтому мы можем использовать только$\langle S_{1i}\rangle = \langle S_{1r}\rangle + \langle S_2\rangle$когда$\eta_1$реально или когда$\frac{\eta_2}{\eta_1}$реально.

Мы можем заменить$\Gamma = \frac{\eta_2 - \eta_1}{\eta_2 + \eta_1}$и$\mathbf{S}_{1i} = \frac{|\mathbf{E}_{1i}|^2}{2\eta_1}$чтобы получить

что подтверждает, что$\vec{S}_1 = \vec{S}_2$.

Более того,$\langle S_1\rangle = \langle S_2\rangle = \Re\left\{|\tau|^2\frac{|\mathbf{E}_{1i}|^2}{2\eta_2^*}\right\} = \frac{|\tau|^2|\mathbf{E}_{1i}|^2}{2}\Re\{1/\eta_2^*\} = \frac{\Re\{1/\eta_2^*\}}{\Re\{1/\eta_1^*\}}|\tau|^2\langle S_{1i}\rangle$и так мы подтвердили формулу для$\langle S_2\rangle$.

Замечания по поводу рассеивания мощности из-за$\vec{E}\cdot\vec{J}$термины действительны, но они не означают, что$\vec{S}$является прерывистым через интерфейс. Диссипативные члены будут давать коэффициент поглощения, который вызывает$\vec{S}$распадаться по мере увеличения расстояния. Но прямо через интерфейс замкнутый объем равен нулю, поэтому интеграл объема$\vec{E}\cdot\vec{J}$будет равно нулю (при условии, что плотности тока распределены по объему и нет токовых слоев), и, следовательно, входящий поток равен внешнему потоку через границу раздела (т. е. вектор Пойнтинга непрерывен).

Кроме того, коэффициенты поглощения могут возникать, даже если среда непроводящая, т.е. даже если$\vec{J}_f = \vec{0}$. Это связано с тем, что мощность также может рассеиваться из-за связанных токов и движения связанных зарядов, которые явно не учитываются в теореме Пойнтинга. Вместо этого они проявляются, вызывая сложные электрические и магнитные диэлектрические проницаемости.

Другой способ понять это состоит в том, что хотя$\vec{S}$имеет вообще ненулевую расходимость, расходимость все же конечна, поэтому потоки$\vec{S}$могут непрерывно изменяться только в пределах тома, и они не могут просто изменяться в интерфейсе. Для этого вам понадобятся бесконечные объемные плотности тока или что-то вроде токовых листов или токовых проводов.

Вы ожидаете, что переданная мощность будет равна падающей мощности за вычетом отраженной мощности, только когда энергия не передается на заряды (которые затем могут терять энергию на тепло).

Вектор Пойнтинга не имеет бездивергентного потока энергии, он может набирать или терять энергию, получая или отдавая энергию зарядам. И заряды могут отдавать или получать энергию от полей, но также могут приобретать или терять энергию в виде тепла.

Аргумент о сохранении энергии ничего не говорит вам, если вы не знаете, что энергия не идет ни на что другое.