В данный момент я изучаю операторные алгебры с математической точки зрения. До сих пор я читал и слышал множество замечаний и примечаний о том, что алгебры фон Неймана ( алгебры) важны в квантовой физике. Однако я не видел, где они на самом деле происходят и почему они важны. Итак, мой вопрос в том, где они происходят и в чем именно заключается их важность.
как уже упоминалось, алгебры фон Неймана лежат в основе аксиоматических подходов к квантовой теории поля и статистической механике, классические ссылки на эти темы - для первых (конечно, их намного больше)
и для последнего
Основная идея состоит в том, что наблюдаемые в физической теории должны иметь некоторую алгебраическую структуру, например, должна быть возможность масштабировать их, то есть измерять с*А вместо А. Более того, нужно уметь измерять любые (измеримые, не каламбур) функция любой наблюдаемой A, что возможно, если A является членом алгебры фон Неймана по функциональному исчислению Бореля. Таким образом, философия аксиоматической квантовой теории поля в смысле Хаага-Кастлера заключается в том, что конкретная КТП определяется сетью алгебр фон Неймана, удовлетворяющих определенному набору аксиом, и что все остальное может быть выведено из этой сети алгебр (для пример см. на странице nLab здесь ).
Как указал Любош, этот анзац был очень успешным в доказательстве многих независимых от модели идей/теорем, таких как PCT и теорема о спине/статистике, но не был успешным в описании стандартной модели, насколько мне известно, это не так. можно использовать этот анзац для вычисления любого числа, которое можно сравнить с любым экспериментом, что ставит некоторую критику теории струн в этом направлении в перспективу.
С другой стороны, можно вывести эффект Унру и излучение Хокинга, используя эту структуру, гораздо более строго, чем это было сделано первоначальными авторами, для более подробной информации см. Роберт М. Вальд: «Квантовая теория поля в искривленном пространстве-времени. и термодинамика черных дыр». (Хотя это несколько устарело, это все еще хорошее место для начала.)
Два поразительных результата, в которых видна глубокая связь между физической интуицией и (глубокой) математической теорией алгебр фон Неймана, связаны с модулярной группой алгебр фон Неймана с разделяющим и циклическим вектором:
характеристика состояний КМС в статистической механике,
теорема Бизоньяно-Вихмана, связывающая автоморфизм модулярной группы с представлением группы Лозенца, для получения дополнительных идей с использованием модульной теории см. статью «Модульная теория для алгебр фон Неймана в локальной квантовой физике» Даниэля Лонго на arXiv.
Теорема Бизоньяно-Вихмана утверждает, что при определенных условиях модулярная группа (алгебры фон Неймана, связанной с областью клина в пространстве Минковского) совпадает с бустами Лоренца (которые отображают грань на себя), так что здесь мы имеем очень нетривиальную связь математического объекта, полученного из структурной теории алгебр фон Неймана (модулярная теория), с объектом, полученным из специальной теории относительности (представление группы Лоренца).
[Еще раз чтение ответа @Lubos пробудило в моей голове эти воспоминания. Спасибо за вдохновение @Lubos :)]
@student - все, что @Lubos говорит в этом ответе, верно. Учитывая, что алгебры фон Неймана в настоящее время являются экзотическим зверем в том, что касается их применения в физике, мне известны три случая, когда они оказали значительное прямое или косвенное влияние на теоретическую физику.
Вся программа теории узлов и инвариантов многообразия и т. д., представленная в работе Виттена по ТКТП (топологическим квантовым теориям поля), в значительной степени обязана открытию Во Джонсом инварианта узла , известного как (очевидно) многочлен Джонса . Я знаю лишь смутные наброски того, как он пришел к этому открытию, но я знаю, что это произошло в ходе его исследований определенного класса (типа III?) алгебр фон Неймана.
Программа некоммутативной геометрии Конна также уходит своими корнями в изучение алгебр фон Неймана, если я не ошибаюсь. Некоммутативная геометрия достигает совершеннолетия с большим количеством приложений, начиная от методов объединения частиц Стандартной модели и заканчивая пониманием квантового эффекта Холла. NCG также естественным образом возникает в моделях космологии и инфляции, вдохновленных струнами, [ссылка]
Наконец, Конн и Ровелли выдвинули интригующую «гипотезу теплового времени», чтобы попытаться разрешить некоторые из дилемм, касающихся понятия «временной» эволюции и динамики, которые возникают в теориях квантовой гравитации, где гамильтониан является чистым ограничением — как так обстоит дело в программе «Каноническая квантовая гравитация». Их конструкция основана на одном свойстве алгебр фон Неймана. Цитата из их аннотации:
... мы предлагаем ... что в общековариантной квантовой теории физический поток времени не является универсальным свойством механической теории, а скорее определяется термодинамическим состоянием системы («гипотеза теплового времени»). Мы реализуем эту гипотезу, используя ключевое структурное свойство алгебр фон Неймана: теорему Томита-Такесаки, которая позволяет вывести поток времени, а именно однопараметрическую группу автоморфизмов наблюдаемой алгебры, из общего теплового физического состояния . Мы изучаем это течение времени, его классический предел, и связываем его с различными характерными теоретическими фактами, такими как температура Унру и излучение Хокинга.
Конечно, все это довольно специфические и эзотерические приложения, поэтому, как отметил @Lubos, vNA гораздо более распространены в теоретической физике.
Ваше впечатление, что физики не говорят об алгебрах фон Неймана, совершенно справедливо. Операторы в гильбертовом пространстве, возможно, удовлетворяют определению алгебры фон Неймана, но это не делает конкретные результаты этой части математики полезными в физике. Алгебры фон Неймана не связаны с какой-либо «конкретной частью» интересных знаний или механизмов, которые должны изучить физики.
Исключение составляла алгебраическая или аксиоматическая квантовая теория поля, в которой любили говорить об алгебре фон Неймана, но в конечном итоге она стала второстепенной дисциплиной теоретической физики. АКФТ на самом деле не работает — она не совместима с фундаментальными физическими представлениями о квантовой теории поля последних 40 лет, такими как Ренормализационная группа. Таким образом, конкретная «фокусировка» алгебры фон Неймана — по сравнению с любой алгеброй операторов в линейном пространстве — вряд ли имеет отношение к каким-то важным выводам.
Помимо квантовой теории поля, понятие алгебр фон Неймана также иногда упоминается физиками, изучающими статистическую физику и другие области, но я думаю, правильно будет сказать, что только физики, получившие некоторое математическое образование в прошлом, могут считаться «спонтанно» начинают использовать понятие алгебр фон Неймана. Алгебры, конечно, не стали стандартной темой курсов бакалавриата или магистратуры, предназначенных для физиков-теоретиков, и я думаю, что даже большинство ведущих физиков-теоретиков точно не знают, что такое алгебры, а что нет.
Ясно, что Джон фон Нейман, представивший их, полагал, что за эти 80 лет они станут гораздо более важными в физике, чем сейчас. Фон Неймана можно считать одним из отцов-основателей квантовой механики; среди этих отцов он явно был самым математическим (абстрактным) и многие его намеки просто не стали общепринятыми. Это верно и для некоторых других понятий, которые он ввел в квантовую механику, включая квантовую логику. Тем не менее, он был умным парнем.
Кажется, пришло время привести эту тему в актуальное состояние, по крайней мере, в связи с все более активным развитием в области физики конденсированного состояния, поскольку это обсуждение является частью очень немногих на тему алгебры фон Неймана.
Я настаиваю на том, что упомянутая тема является текущей работой, и еще ничего не завершено. Однако для студентов/исследователей, заинтересованных в попытке ответить на вопросы математической физики с помощью алгебры фон Неймана, это, безусловно, многообещающее направление, и, следовательно, важно упомянуть его уже на данном этапе.
Для начала кратко напомним, почему операторно-алгебраический каркасквантовой статистической механики является важной частью физики: понятие фазы и фазового перехода является хорошо определенным математическим явлением только в термодинамическом пределе. Например, вспомните, что «самопроизвольное нарушение симметрии» модели Изинга всегда предполагается «в термодинамическом пределе», потому что две фазы «все вверху» и «все внизу» должны быть разделены бесконечной энергетической щелью. , так что можно быть уверенным, что ни один локальный оператор (имеется в виду оператор, действующий на конечное число спинов) не может переключаться из одного состояния в другое. Однако в квантовой механике эти более широкие термины «нарушение симметрии» и «фаза» или «сектор» очень часто используются в нестрогой манере. Причина этого в том, что бесконечномерное гильбертово пространство (например, бесконечная двумерная решетка спинов) — это объект, требующий инструментов алгебраической квантовой статистической механики, в которой состояния больше не являются просто векторами в гильбертовом пространстве. Обычно исследователь может избежать использования этой структуры, явно находя границу некоторой величины, такой как энергия, в зависимости от размера системы и увеличивая размер до «бесконечности». Таким образом, было получено множество очень строгих и новаторских результатов.
Напомним, что классификация квантовых фаз материи, как это сейчас широко известно всему сообществу квантовой физики, является очень активной и сложной областью. Среди классов фаз есть необратимые фазы, обычно называемые топологическим порядком, для которых математическая структура уже известна как теория категорий. Последние 20 лет он был предметом пристального внимания. Однако, как и любая квантовая фаза, для того, чтобы быть математически хорошо определенной, топологически упорядоченная фаза должна быть изучена в термодинамическом пределе, и классификация этих фаз является математически сложной задачей: они взаимодействуют между собой запутанными фазами с большим радиусом действия и находят «индекс» ( надежная математическая величина, которая различает фазы), по-видимому, требует работы непосредственно в термодинамическом пределе.https://arxiv.org/abs/2111.07335 для очень понятного случая SPT. Недавно было выдвинуто (но фактически предполагалось с самого начала небольшим сообществом исследователей), что классификация топологического порядка также должна быть успешной в операторно-алгебраической структуре, где сектора супервыбора , как определено здесь http:/ /nlab-pages.s3.us-east-2.amazonaws.com/nlab/show/DHR+superselection+theory , как ожидается, будет важным объектом и строго покажет внешний вид плетеных тензорных категорий. В этих активных исследованиях важную роль играет алгебра фон Неймана: https://arxiv.org/abs/1608.02618 . В том же направлении топологическая энтропия запутанностисчитается строго определенным благодаря индексу Джонса: https://arxiv.org/abs/2106.15741 . Неудивительно, что здесь появляется работа В. Джонса, поскольку топологический порядок и топологическая энтропия запутанности на данный момент выводятся только из аргументов топологической квантовой теории поля, в которой работа Джонса об узлах занимает центральное место.
Раскольников
Эли Башвингер