Почему C=q/VC=q/VC=q/V постоянна для конденсатора?

Полностью общее доказательство немного тонкое и включает в себя свойства решений уравнения Лапласа. Вот его набросок.

Представим, что у нас есть два проводника произвольной формы. Мы размещаем заряд$+Q$на проводнике №1 и$-Q$на проводнике №2. Эти заряды будут распределяться определенным образом, вызывая поверхностные заряды.$\sigma_1(\vec{r})$и$\sigma_2(\vec{r})$, соответственно. Берем точку отсчета для нашего потенциала ($V = 0$) находиться на бесконечности. Когда мы это сделаем, это создаст потенциал повсюду в пространстве; мы можем назвать это нашим «эталонным решением»$V(\vec{r})$. Эта функция будет удовлетворять уравнению Лапласа ($\nabla^2 V = 0$) везде в пространстве; это также будет удовлетворять$\hat{n} \cdot \nabla V = -\sigma_1/\epsilon_0$на поверхности проводника №1 и$\hat{n} \cdot \nabla V = -\sigma_2/\epsilon_0$на поверхности проводника №2.

Теперь предположим, что мы рассматриваем новую функцию$V'(\vec{r}) = \alpha V(\vec{r})$, где$\alpha$любое действительное число. Это означает, что мы умножили разность потенциалов между проводниками на$\alpha$. Какое распределение заряда на проводниках приведет к этому? Итак, на поверхности проводника №1 имеем

$$\sigma'_1 = -\epsilon_0\hat{n} \cdot \nabla V' = -\alpha \epsilon_0 \hat{n} \cdot \nabla V =\alpha \sigma_1,$$ и аналогично $\sigma'_2 = \alpha \sigma_2$. Другими словами, распределение заряда умножается на $\alpha$везде на поверхности обоих проводников. В частности, отсюда следует, что полные заряды на проводниках равны $\pm Q' = \pm \alpha Q$; и поэтому разность потенциалов всегда пропорциональна количеству заряда на проводниках.

Вы можете быть обеспокоены тем, что это всего лишь один из возможных способов распределения заряда по проводникам; возможно, когда мы удваиваем общий заряд на проводнике, он становится сверхконцентрированным в некоторых частях проводника и остается небольшим в других местах, вместо того, чтобы равномерно удваивать плотность повсюду на поверхности. Но есть теорема единственности, к которой мы можем обратиться:

В объеме, окруженном проводниками, электрическое поле определяется однозначно, если задан суммарный заряд на каждом проводнике. (Область в целом может быть ограничена другим проводником или не ограничена.)

(Из Введения Гриффитса в электродинамику , §3.1.6)

Поскольку я нашел решение , в котором чистый заряд умножается на$\alpha$на проводниках, то я могу тогда сказать, что по приведенной выше теореме единственности это единственный возможный способ распределения заряда по проводникам, и, следовательно, разность потенциалов между проводниками также должна умножаться на$\alpha$.

Идея, лежащая в основе постоянного отношения заряда к разности потенциалов для конденсатора, заключается в том, что если заряд на конденсаторе изменяется в$k$, то во всех точках конденсатора элементы заряда будут изменяться (интуитивно) пропорционально, т.е. в множитель$k$. Это следует из того, что первоначально силы на элементах заряда были равны нулю, а при изменении заряда силы по-прежнему остаются нулевыми (если бы начальные силы не были равны нулю, изменив заряд в множитель$k$изменило бы силы в несколько раз$k^2$, но когда начальные силы равны нулю, коэффициент масштабирования не повлияет на них, поскольку что-то, умноженное на ноль, равно нулю), и поэтому заряды только увеличиваются/уменьшаются, перераспределения зарядов нет. И, как указывает Майкл Сейферт в своем ответе, теорема единственности гарантирует, что это возможное распределение заряда является единственно возможным распределением заряда при изменении заряда конденсатора.

Я приведу строгое доказательство: пусть конденсатор состоит из двух проводников.$C_1$и$C_2$произвольной формы, с поверхностями$S_1$и$S_2$соответственно.

Если конденсатор имеет заряд$q_{initial}$изначально можно написать потенциал точки$P$из$C_1$как

$$V_P = \int_{S_1} \frac{dq}{4 \pi \epsilon_0 \ r} + \int_{S_2} \frac{dq}{4 \pi \epsilon_0 \ r}$$ ( $r$являющийся позиционным вектором $P$по отношению к элементу заряда $dq$. И с тех пор $C_1$дирижер, $V_p=V_{C_1}$. Таким образом, $(V_{C_1})_{initial} = \int_{S_1} \frac{dq}{4 \pi \epsilon_0 \ r} + \int_{S_2} \frac{dq}{4 \pi \epsilon_0 \ r}$.

Если теперь мы изменим заряд конденсатора в$k$, то все элементы заряда изменятся во столько же раз. Сейчас,

$$(V_{C_1})_{final} = \int_{S_1} \frac{k \ dq}{4 \pi \epsilon_0 \ r} + \int_{S_2} \frac{k \ dq}{4 \pi \epsilon_0 \ r} = k \ (V_{C_1})_{initial}$$ Аналогичным образом можно показать, что $(V_{C_2})_{final} = k \ (V_{C_2})_{initial}$.

Заметьте теперь, что

$$\frac{q_{final}}{(V_{C_1})_{final}-(V_{C_2})_{final}} = \frac{k \ q_{initial}}{k \ (V_{C_1})_{initial}- k \ (V_{C_2})_{initial}} = \frac{q_{initial}}{(V_{C_1})_{initial}-(V_{C_2})_{initial}}$$

Ясно, что из приведенного выше уравнения$\frac{q}{V}$остается постоянным для конденсатора.