Аналогия конденсатор-пружина

Ясно, что после разнесения на удвоенное расстояние энергия конденсатора$U$будет увеличиваться

Да, и основная причина в том, что внешний агент должен проделать работу, чтобы разделить пластины против силы притяжения между пластинами. Эта работа представляет собой энергию, переданную электрическому полю конденсатора, и отвечает за удвоение накопленной энергии.

Но как можно описать увеличение энергии конденсатора, проводя аналогию с увеличением потенциальной энергии пружины при растяжении?

С

$$C=\frac{\epsilon A}{d}$$

Двойное разделение (при одинаковом$A$и$\epsilon$) означает уменьшение емкости вдвое. Затем из

$$C=\frac{Q}{V}$$

Для сохранения заряда уменьшение вдвое емкости означает удвоение напряжения. Тогда энергия, запасенная в конденсаторе, выраженная в исходной емкости , равна

$$U=\frac{1}{2}(C/2)(2V)^{2}=CV^2$$

Или удвоить оригинал.

Поскольку по аналогии с пружиной и конденсатором

$$C=\frac{1}{k}$$

Уменьшение вдвое емкости аналогично удвоению жесткости пружины, т. е. аналогично удвоению ее «жесткости». Удвоение жесткости пружины при том же смещении означает удвоение усилия. Таким образом, сила пружины аналогична напряжению на конденсаторе.

Теперь, чтобы сделать ваш пример пружиной вместо конденсатора, у вас была бы пружина с жесткостью пружины$k$растянул сумму$x$какой-то внешней силой и удерживается. Тогда запасенная в пружине упругая потенциальная энергия равна

$$U=\frac{1}{2}kx^2$$

А сила, необходимая для удержания растянутой пружины, равна

$$F=kx$$

Теперь каким-то образом (чудесным образом) жесткость пружины удвоилась (пружина стала в два раза жестче). Чтобы пружина не растянулась$x$необходимо удвоить приложенную извне силу. Таким образом, первоначальная сила должна удвоиться. По первоначальной стоимости$k$, при том же значении$x$сила сейчас,

$$F=2kx$$

Энергия, теперь запасенная в пружине, становится

$$U=\int_{0}^{x}(2kx)dx=2\int (kx)=kx^2$$

Таким образом, энергия, накопленная в пружине, будет вдвое больше исходной, как и в случае с конденсатором, когда$C=1/k$.

Обратите внимание, что новая накопленная энергия для конденсатора и пружины, указанная выше, выражается в исходных значениях$C$и$k$.

Более того, в дополнение к аналогии между емкостью и жесткостью пружины имеется также аналогия между силой в случае пружины и напряжением в случае конденсатора. Удвоение напряжения в случае конденсатора аналогично удвоению силы в случае пружины.

Надеюсь это поможет.

Аналогия$x \to Q$и$k \to 1/C$

Таким образом, растяжение пружины соответствует зарядке конденсатора и наоборот.

Теперь, если вы увеличиваете расстояние между пластинами конденсаторов, вы меняете свою систему. В аналогии с пружиной вы заменяете ее другой пружиной (с другой пружиной).$k$).

Аналогия с Википедией

Аналогия, приведенная в статье в Википедии, не совсем соответствует описанной вами ситуации. Это соответствует ситуации зарядки конденсатора. Чтобы отделить сумму заряда$\text{d}Q$, вам нужно выполнить объем работы$\text{d}U = V\text{d}Q$. Применение определения$Q=CV$мы получаем интеграл

$$U=\int_0^Q \text{d}U = \frac{1}{C} \int_0^Q Q\text{d}Q = \frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}$$

Аналогично, чтобы растянуть пружину на длину$\text{d}x$, нужно приложить силу$kx$точно противостоять собственной силе пружины$-kx$. Работа$\text{d}U$вы делаете. поэтому$\text{d}U = kx \text{d}x$и энергия

$$U=\int_0^x \text{d}U = k\int_0^x x\text{d}x = \frac{1}{2}kx^2$$

Таким образом, мы видим, что в обоих случаях работа, необходимая для увеличения перемещений$Q$и$x$бесконечно малыми количествами$\text{d}Q$и$\text{d}x$пропорциональна текущим значениям$Q$и$x$сами себя. $1/C$в конденсаторе играет роль$k$Весной.

Ваша ситуация

Ситуация, которую вы описываете, отличается от аналогии с Википедией, поскольку она связана с увеличением разделения$s$обкладок конденсатора, а не заряжать конденсатор. Отношение между$\text{d}U$и$\text{d}s$в общем случае нелинейна$s$и не может быть смоделирован как простая пружина.

• Если$s$намного больше, чем типичный размер пластины, то обе пластины по сути являются точечными зарядами, поэтому работа

  $$\text{d}U \approx \frac{Q^2}{4\pi\epsilon_0 s^2} \text{d}s$$ и$U \propto s^{-1}$.

• Если$s$намного меньше типичного размера пластины, то$C\approx\epsilon_0 A/s$и

  $$U = \frac{1}{2}\frac{Q^2}{C} \approx \frac{Q^2}{2\epsilon_0 A}s$$ так$U \propto s$.

Таким образом, мы видим, что система по-прежнему ведет себя как пружина. Электрическая сила притяжения между противоположно заряженными пластинами конденсатора действует как сила пружины. Просто эта сила не подчиняется уравнению (закону Гука) идеальной пружины, которая$U\propto s^2$. В любом случае потенциальную энергию все же можно найти интегрированием силы по расстоянию (хотя мы нашли ее прямым путем во втором приближении, где$s$намного меньше обычного размера тарелки).

После зарядки конденсатор отсоединяется от батареи , а затем расстояние...

Если принять цепь только с конденсатором без внешней ЭДС, то в этой системе постоянным остается заряд$Q$на обкладках конденсатора. Оно не изменится при увеличении или уменьшении расстояния между пластинами. Таким образом, аналогичный объект должен быть$k$и$Q$поскольку и в пружинной системе, и в конденсаторной системе они остаются постоянными.

Теперь по уравнениям вполне заметно, что в пружине$E_s$увеличивается квадратично с$x$(удлинение). Но в конденсаторе$E_c$увеличивается линейно с$x$(разделение между плитами).

Таким образом, настоящая аналогия (как мы проводим между гравитацией и электростатикой) не может быть проведена между уравнениями, поскольку они не увеличиваются/уменьшаются на ту же величину, на которую мы увеличиваем/уменьшаем.$x$.

Тем не менее, мы всегда можем сказать, что Энергия всегда будет увеличиваться как в пружине, так и в конденсаторе по мере увеличения $x$ и наоборот

Мы можем рассмотреть уравнения

$$E_s = \frac{1}{2}(k)(x^2)$$

$$E_c = \frac{1}{2}(Q)(\frac{Q}{C})$$

В этих уравнениях

$k$аналогичен$Q$(оба постоянные)

$x^2$аналогичен$\frac{Q}{C}$(Оба увеличиваются с$x$)

Также обратите внимание, что$\frac{Q}{C}$на самом деле$V$и правильно,$V$также увеличивается линейно по мере увеличения$x$(расстояние между плитами)