Почему давление вырождения не может самонастраиваться, чтобы сопротивляться гравитационному коллапсу?

Основная проблема заключается в том, что для достаточно массивной звезды электроны становятся релятивистскими. Тонкие детали этого расчета довольно сложны, но вы можете получить качественное представление об этом аргументе следующим образом:

Для нерелятивистских фермионов при нулевой температуре можно показать, что полная энергия$N$частицы в ящике объемом$V$пропорциональна$N^{5/3}/V^{2/3}$. Это можно сделать, подсчитав плотность состояний и используя тот факт, что энергия нерелятивистской частицы подчиняется$E \propto |\vec{p}|^{2}$. Для сферического объема радиусом$R$, у нас есть$R \propto V^{1/3}$, а количество присутствующих фермионов пропорционально массе. Это означает, что полная энергия фермионов пропорциональна$M^{5/3}/R^2$. Эта энергия положительна.

С другой стороны, гравитационная энергия твердого шара отрицательна и пропорциональна$M^2/R$. Это означает, что полная энергия есть сумма отрицательных$R^{-1}$срок и положительный$R^{-2}$член, и такая функция где-то будет иметь минимум. Это будет точка равновесия. При меньших радиусах энергия вырождения растет быстрее, чем уменьшается энергия связи, отодвигая радиус обратно к большим значениям. При больших радиусах происходит обратное. Это означает, что звезда будет стабильной.

Однако этот аргумент не работает для произвольно больших энергий, потому что в конечном итоге энергия Ферми электронов превышает энергию покоя электрона; другими словами, электроны становятся релятивистскими. Это меняет соотношение между энергией и импульсом электронов. Для высокорелятивистских электронов имеем$E \propto |\vec{p}|$вместо; и проводя те же вычисления (полностью пренебрегая массой электрона), мы находим, что полная энергия релятивистского фермионного газа пропорциональна$N^{4/3}/V^{1/3} \propto M^{4/3}/R$.

С другой стороны, гравитационная энергия связи остается отрицательной и пропорциональной$M^2/R$. Это означает, что общая энергия сама пропорциональна$1/R$, и экстремума полной энергии системы нет. Поскольку энергия фермионов и энергия связи всегда увеличиваются или уменьшаются с одинаковой скоростью, стабильного равновесного радиуса не будет. Звезда либо разорвется на части, либо схлопнется сама в себя, в зависимости от того, что преобладает: кинетическая энергия фермионов или гравитационная энергия связи.

Альтернатива: по мере увеличения массы белого карлика электроны становятся ультрарелятивистскими. Гидростатическое равновесие невозможно при ультрарелятивистском вырожденном давлении.

Гидростатическое равновесие требует:

$$\frac{dP}{dr} = - \rho g \ .$$ Работа только с пропорциями, нерелятивистское давление вырождения$\propto \rho^{5/3} \propto M^{5/3} R^{-5}$, где$\rho$плотность,$M$это масса и$R$радиус. Таким образом, левая и правая стороны уравнения гидростатического равновесия могут быть записаны $$\begin{eqnarray} M^{5/3} R^{-6} & \propto & (M R^{-3})(M R^{-2}) \\ & \propto & M^2 R^{-5}\ . \end{eqnarray}$$ Для данной массы радиус можно отрегулировать, чтобы найти равновесие.

Для более массивной звезды этот равновесный радиус равен$R \propto M^{-1/3}$, поэтому более массивная звезда имеет меньший радиус, более высокую плотность; энергия Ферми электрона увеличивается, и электроны становятся ультрарелятивистскими.

Ультрарелятивистское давление вырождения электронов пропорционально$\rho^{4/3} \propto M^{4/3} R^{-4}$. Подставляя это в уравнение гидростатического равновесия, мы видим

$$\begin{eqnarray} M^{4/3} R^{-5} & \propto & (M R^{-3})(M R^{-2}) \\ & \propto & M^2 R^{-5}\ , \end{eqnarray}$$ и, таким образом, нет никакой возможной корректировки радиуса, которая могла бы сбалансировать это уравнение. Он удовлетворяется (но неустойчив) только для одной массы - массы Чандрасекара.

Редактировать:

Обратите внимание, что этот простой аргумент является консервативным. На практике существует меньшая масса, выше которой стабильная конфигурация невозможна, по крайней мере, по двум причинам.

1. При малых радиусах и высоких плотностях энергии Ферми электронов становятся достаточно высокими, чтобы вызвать реакции электронного захвата (или нейтронизации). Это удаляет электроны из газа и снижает показатель адиабаты ниже$4/3$и происходит коллапс (или термоядерная детонация).

2. Вышеупомянутая трактовка использует ньютоновскую интерпретацию гидростатического равновесия. Это не подходит для очень маленьких белых карликов. Вместо этого следует использовать общерелятивистское уравнение гидростатического равновесия Толмана-Оппенгеймера-Волкова. Это также показывает давление на правую сторону . Это означает, что увеличение давления требует постоянно увеличивающегося градиента давления, что приводит к нестабильности при конечной плотности и массе ниже, чем масса Чандрасекара, не относящаяся к общей теории относительности.