Почему для кругового движения в вертикальной плоскости чистая сила равна центростремительной силе?

Вопрос, который вы поднимаете, очень распространен и вызывает некоторые трудности у новичков. Я знаю, что это обсуждалось здесь, но я не могу найти хорошую презентацию. То, что следует ниже, не является хорошим, но этого может быть достаточно, чтобы ответить на вопрос.

Центростремительная сила описывает силу (часто совокупность нескольких сил). Он не называет силу. Гравитация — это сила. Трение — это сила. Центростремительная - это не сила. «Центростремительный» описывает результирующую силу, направленную к центру круга. В случае, если скорость объекта не меняется или если наблюдение осуществляется только в течение очень короткого промежутка времени, то кинематика требует, чтобы$a_c=v^2/r$а второй закон Ньютона говорит, что должна существовать результирующая сила, которая производит это ускорение. Мы знаем, что существует центростремительная сила, наблюдая за движением объекта, а не изучая взаимодействия между объектами, как мы это сделали бы в случае гравитации или трения. В некотором смысле «центростремительная сила» — это скорее утверждение кинематики, чем динамики.

Движение говорит нам, что должна быть центростремительная сила. Какова природа этой силы, представляет собой другой вопрос, на который можно ответить, проанализировав фактические реальные силы, возникающие из-за взаимодействия между объектами.

Кинематика говорит нам, что должно быть верно следующее:

$$F_\mathrm{net} = \frac{mv^2}{r}$$

Анализ сил в нижней части петли говорит нам, что

$$F_\mathrm{net}=N-mg$$

Что нужно понимать в отношении кругового движения, так это то, что центростремительное ускорение — это чисто кинематический факт.

• Что-то, движущееся по криволинейной траектории, ускоряется, потому что вектор его скорости непостоянен. это просто кинематика
• Если это криволинейное движение имеет известную постоянную скорость$v$и известный радиус кривизны$r$чем величина ускорения$a_c = v^2/r$. Это все еще просто кинематика

Это очень похоже на то, как смотреть на что-то, что не движется или движется с постоянной скоростью, и говорить: «Эй, эта штука находится в равновесии!». Когда мы смотрим на объект, следующий по криволинейной траектории, мы знаем, что он ускоряется, точно так же, как мы знаем, что равномерное движение подразумевает равновесие.

И точно так же, как в случае равновесия, мы используем третий закон Ньютона, чтобы связать результирующую силу с этим ускорением.

$$\begin{align*} F_\text{net,equilibrium} &= m a_\text{equilibrium}\\ &= 0\\ \\ F_\text{net,circular motion} &= m a_c \\ &= m\frac{v^2}{r} \;. \end{align*}$$

Другими словами, для объектов, находящихся в равномерном круговом движении, всегда верно, что результирующая сила, действующая на них, является «центростремительной силой».

---

На что следует обратить внимание: если скорость непостоянна, есть также составляющая ускорения, касательная к траектории, и результирующая сила больше не является центростремительной силой.

---

Я призываю студентов думать о «центростремительном ускорении» как о главном, а о силах, вызывающих это ускорение, как о своего рода промежуточном шаге в работе, которую мы не удостоим титулом, чтобы подкрепить тот факт, что открытие , которое силы (или их компоненты), которые в совокупности вызывают центростремительное ускорение как характеристику задачи, которую необходимо проработать.

например. Если мы пытаемся найти Чистую силу, почему бы нам не найти Чистое ускорение, которое было бы чем-то вроде «Центростремительное ускорение — ускорение под действием силы тяжести» (в нижней части цикла)?

Забудьте об идее вклада в ускорение. Объект имеет только одно ускорение, а не сумму нескольких.

• Сил может быть много, и все они объединяются в общую силу. Объект толкают немного с этой стороны, немного с той стороны, немного сзади, немного сверху и все вместе, все это суммируется в результирующую силу$F_{net}$.
• Но вы не ускоряетесь немного вбок, немного в другую сторону и немного назад, что потом должно объединиться в одно ускорение. Ускорение не производится вкладами. Сил может быть несколько, но вместе они приводят к одному ускорению — они не вызывают ускорение, каждое из которых затем суммируется в «чистое» ускорение.

Второй закон Ньютона указывает на это: формула не$\sum F=m\sum a$но только$\sum F=ma$; в$F$это сумма многих$F$, но$a$это не сумма многих$a$с.

Следовательно, нет такого понятия, как «чистое» ускорение — это просто ускорение . А в случае равномерного кругового движения, когда это ускорение должно быть направлено внутрь, это ускорение было названо центростремительным ускорением . Это не другой «тип» ускорения — просто название, которое мы называем, когда оно вызывает круговое движение.

И для того, чтобы такое ускорение, направленное внутрь, имело место, все силы, действующие на объект, вместе взятые должны вызывать его. В нижней части вертикальной петли есть вес, тянущий вниз, и нормальная сила, направленная вверх, и они вместе должны вызывать ускорение вверх. (Вы не вычитаете «вклады ускорения» друг из друга, вы просто объединяете силы и смотрите, какое ускорение вызывает эта сумма.)

Если бы он не был направлен вверх, это не было бы равномерным круговым движением.

---

почему$F_{Net}=ma=\frac{mv^2}r$

Люди выяснили, что если движение равномерно круговое, то ускорение всегда$a=\frac{v^2}{r}$и указывая на центр. Это может быть доказано отдельно и не имеет никакого отношения к силам.

Закон Ньютона выполняется всегда,$F_{net}=ma$, так что в случае равномерного движения по окружности$a$в этом законе можно заменить$a=\frac{v^2}{r}$.

---

Так что, если бы я должен был найти чистую силу на 60-килограммовом человеке в нижней части американских горок радиусом 9 м, движущихся со скоростью 18,8$m/s^2$, я мог бы просто использовать$F_{Net}=\frac{mv^2}r$? Мне кажется, что мы просто проигнорировали гравитацию :/

Это не игнорирование гравитации — вы просто еще не закончили. Гравитация обязательно войдет как часть чистой силы$F_{Net}$. Как вы сами правильно написали, результирующая сила действительно состоит из силы тяжести, направленной вниз, и нормальной силы, направленной вверх,$F_{Net}=F_n-mg$. Подставьте это в выражение и влияние гравитации (вес$mg$) действительно включено:

$$F_{Net}=\frac{mv^2}r\quad\Leftrightarrow\quad F_n-mg=\frac{mv^2}r$$