Почему должно быть vvv < c в преобразованиях Лоренца? Разве эти уравнения не применимы к свету? [дубликат]

Чтобы увидеть, что происходит, достаточно сделать это в двух измерениях, используя форму Лоренца.$\pmatrix{-1&0\cr 0&1\cr}$. (я установил$c=1$.)

Группа Лоренца — это группа, сохраняющая эту форму. Типичным элементом является

Подгруппа, сохраняющая направление времени, является связным компонентом тождества, где$\pm$знак положительный. Эту подгруппу также иногда называют группой Лоренца.

Теперь, учитывая элемент группы Лоренца, мы можем определить соответствующую скорость как$v=\sin(\theta)$, так что$v$автоматически (строго) ограничивается$-1$и$1$.

Помимо простого взгляда на преобразование Лоренца, наблюдения расхождения и вывода «о, это не работает», еще один способ понять расхождение — это утверждение:

никакая конечная последовательность конечных ускорений не даст вам скорости$c$относительно вашей начальной инерциальной системы отсчета .

Представьте себя в космическом корабле с органами управления ориентацией и ускорителем таким, что вы можете разогнаться до любой скорости за некоторый конечный интервал (скажем,$[0,\,\Delta v]$с$\Delta v\ll c$) в любом направлении относительно вашей текущей мгновенно движущейся инерциальной системы отсчета за единицу времени, измеряемую бортовыми часами вашего космического корабля.

Теоретически это эквивалентно утверждению, что через единицу времени существует некоторая окрестность$\mathcal{N}_\mathrm{id}$личности в$SO(1,\,3)$так что я могу передать любое преобразование Лоренца в этой окрестности, чтобы представить мою систему отсчета. По прошествии времени (измеряемого моими верными бортовыми часами) я могу наложить любую последовательность этих соседей; общая трансформация относительно моего начального кадра является их продуктом, и поэтому моя общая трансформация идет по некоторому непрерывному пути через$SO(1,\,3)$. Наше исходное утверждение эквивалентно:

Ни один член связанного с личностью компонента$SO(1,\,3)$соответствует относительной скорости$c$

(на самом деле это, конечно, верно для любого члена$SO(1,\,3)$, но компонент идентичности — это преобразования, которых мы можем физически достичь без контроля, имея достаточно топлива).

В частности, представьте, что вы двигаетесь в постоянном направлении; и каждую единицу времени вы будете накладывать один и тот же буст. Как и в ответе WillO , мы концентрируемся на одном пространственном измерении, поэтому усиление нашего юнита:

Тот самый, конечный,$\Delta v$относительно нашего нынешнего кадра, переданного$n$раз больше$\exp\left(n\,\delta \eta\left(\begin{array}{cc}0&+1\\+1&0\end{array}\right)\right)$. Итак, если мы разгоняемся с постоянной скоростью$\Delta v$в единицу времени по нашим часам, поэтому мы чувствуем постоянную ускоряющую силу со своего места, наблюдатель в нашей начальной системе отсчета видит ускорение, так что наша скорость $\eta = n\,\delta\eta$меняется на сумму$\Delta v/c$в интервале времени$\cosh\eta$относительно их рамы. Таким образом, изменение общей скорости между двумя кадрами равно

и наше кажущееся ускорение от нашего начального кадра равно$\Delta v \,\operatorname{sech}^3\eta$; Кажется, что мы ускоряемся все медленнее и медленнее, потому что именно наша быстрота, а не скорость, изменяется равномерно с номером интервала ускорения, а также потому, что эти интервалы ускорения становятся все длиннее и длиннее по сравнению с начальным кадром.

Ни в одном кадре общая разница скоростей никогда не достигнет$c$.

Обратите внимание, что приведенные выше аргументы применимы, даже если$\Delta v$составляет большую часть$c$. Когда$\Delta v\ll c$приближение в (2) выполнено.

Преобразования Лоренца применяются к объектам с ненулевой массой. Для объекта с массой потребовалось бы бесконечное количество энергии, чтобы достичь скорости света.