Почему энергетический уровень n=3n=3n=3 квантово-механических потенциальных ям оказывается «перевернутым»?

В моем учебнике по квантовой механике для бесконечных и конечных потенциальных ям показаны такие рисунки:

введите описание изображения здесь

Четное решение для конечной ямы (применительно к нижней и верхней кривым на рисунке справа) задается как

ф е в е н ( Икс ) "=" { А е д Икс Икс < − а Д потому что ⁡ ( к Икс ) − а ≤ Икс ≤ а А е − д Икс Икс > а

где − а и а – границы ящика (с центром лунки в нуле). Подробная информация о константах к и д не имеют отношения к моему вопросу.

Мне интересно, почему кривая n = 3 кажется перевернутой в области − а ≤ Икс ≤ а ? Верхняя кривая на рисунке ( н "=" 3 ) подразумевает, что Д < 0 , но нижняя кривая ( н "=" 1 ) подразумевает, что Д > 0 ...

И, даже если это разногласие как-то урегулировать, то в итоге получится точно такая же проблема за пределами колодца с разногласием в нормировочном параметре А .

Я понимаю, что ничто из этого не имеет никакого значения для каких-либо фактических вероятностей, поскольку они находятся с помощью функции плотности | ψ ( Икс ) | 2 . Но все равно так не пойдет. Цифры нарисованы немного неформально, или я упускаю какие-то математические детали?

Сосредоточьтесь на бесконечном колодце. Вот решения n=1,3,5,7,9 в центре колодца, x=0.
@CosmasZachos Я вижу там точно такую ​​же проблему. Четные решения для бесконечной ямы ф н ( Икс ) "=" 2 2 а потому что ⁡ н π Икс 2 а . Константа нормализации здесь положительна, но это не то, что н "=" 3 волновая функция показывает.
Почему чередование D является «проблемой»? Какая часть вашего решения определила его знак?
@CosmasZachos Никакая часть решения не диктовала знак. Но число должно быть положительным или отрицательным. Мне просто не понравилась двусмысленность.

Ответы (2)

Разные энергетические уровни имеют разные значения А и Д . Во втором четном решении относительный знак отличается от первого.

Моя книга, кажется, подразумевает, что константы нормализации не меняются в зависимости от уровня энергии? В случае бесконечной ямы постоянная А прямо указано, что всегда 2 / 2 а . И даже с бесконечным колодцем я вижу ту же проблему в н "=" 3 изгиб
@jphollowed Ситуация с бесконечным колодцем иная; в таком случае А оказывается одинаковым для каждого энергетического уровня. Однако всегда можно заменить А с А е я θ и получить то же состояние, поэтому для третьего собственного состояния они выбрали график с А отрицательный.
В конечной яме оба А и Д изменять. Меняя габаритные знаки, всегда можно получить Д Положительный, если хотите. Однако вы не можете получить оба А и Д всегда положительно, так как значения А / Д действительно различны в разных штатах.
так что реальный ответ на мой вопрос - это то, что повторял мой профессор; общая фаза состояния или волновой функции не имеет значения, поскольку она связана с абсолютным квадратом, который мы используем для вероятностей. Пока сохраняются относительные фазы между состояниями

Обратите внимание, что вы представили волновую функцию так, как будто колодец бежит из [ − л / 2 , л / 2 ] , но часто формально решается в наборе координат, откуда бежит скважина [ 0 , л ] .

«Естественное» выражение решения зависит от того, как вы пометите домен. В последнем случае все решения представляют собой синусы для бесконечных ям (и их можно разумно описать как «синусоидальные» для глубоких конечных ям), поэтому можно ожидать, что они будут возрастать на левом краю.

Но это может быть отрицательный синус, и я думаю, что в этом и заключается суть вопроса.
Ну, да. Но, как и у OP, у меня есть предпочтения в отношении того, как я настраиваю вещи. Он говорит : «Если решение записано в терминах косинуса, я ожидаю, что оно будет положительным при нуле, когда нет объективной причины сделать это иначе» . Конечно, это чисто эстетическая вещь, но на удивление большая часть людей сделала бы такой же выбор. Я говорю здесь о том, что существует другая эстетика, которая применяется, если вы помечаете домен по-другому. И большинство элементарных методов лечения, которые я вижу, используют [ 0 , л ] маркировка домена. Вы также можете закрепить знак на любом конце, и это напрягает вашу руку.
@dmckee Если это все, что нужно для ответа, то правильно ли сказать, что фигура просто нарисована немного небрежно? Действительно, вы правы, используя домен [ 0 , л ] и выражение решения в виде синусоидальных кривых устраняет проблему, которую я поднимаю. Моя книга действительно использовала этот домен для бесконечного колодца и переключалась, когда они обращались к конечному колодцу (для удобства). Однако даже когда они повторно решают бесконечную яму в этой новой области, решение не полностью соответствует рисунку.
@jphollowed Честно говоря, я думаю, что вы даете своему внутреннему перфекционисту немного больше инициативы, чем это было бы хорошей идеей. Я, конечно, знаю это чувство — мое довольно напористое, — но это не стоит большого количества вашего времени. Одного наброска, нарисованного от руки, достаточно, чтобы указать на интересную особенность проблемы и ее решения, так что этого вполне достаточно. Конечно, называйте их повседневными, если хотите.
@dmckee Ты прав. Я понимаю физику и математику в любом случае. Спасибо друг
Почему энергетический уровень n=3n=3n=3 квантово-механических потенциальных ям оказывается «перевернутым»?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v