Почему этальные морфизмы называются этальными?

Использование étale предшествовало SGA, и «распространенный» лучше, чем обычно, соответствует идее Гротендика о всеобъемлющем топосе, «обширном» и «слабом», как это происходит. Отсюда и происходит название этальных морфизмов. Кроме того, французское étaler происходит от старого французского estal , что означало позицию/место, как и греческое topos , хотя неясно, предназначалось ли это тоже. См . Каковы преимущества просмотра снопа с точки зрения «espace étalé»? поток на Math Overflow для более математического обсуждения.

Вот собственное объяснение Гротендика из Récoltes et Semailles :

С точки зрения догадок Вейля, решающим здесь является то, что новое понятие [пространства] достаточно обширно , чтобы мы могли связать с каждой схемой «обобщенное пространство» или «топос» (называемый «этальным топосом»). рассматриваемой схемы). Некоторые «когомологические инварианты» этого топоса («ребяческие» в своей простоте!) как будто имели хорошие шансы дать «то, что нужно», чтобы придать догадкам их полный смысл, и (кто знает! ), возможно, чтобы дать средства для их доказательства » .

Эта идея была частью общей стратегии Гротендика по доказательству гипотез Вейля, которую Серр объяснил ему в когомологических терминах в 1955 году. Покрытия Étale были вдохновлены «изотривиальными покрытиями» Серра. Как Макларти комментирует в «Восходящем море »:

« Когомологии дают алгебраические инварианты топоса точно так же, как раньше они давали инварианты топологического пространства. Каждое топологическое пространство определяет топос с когомологиями пучка. Каждая группа определяет топос с когомологиями группы. То же самое, как знал Гротендик, будет работать для случаев, еще невообразимых... Для гипотез Вейля оставалось только найти естественные топосы для каждого арифметического пространства, если вспомнить, что примерно до 1956 г. сами пространства не были адекватно определены. Фактически эта концепция «топосов» пришла к Гротендику. как способ соединить свою теорию схем с идеей Серра об изотривиальных покрытиях и получить когомологии » .

Эта стратегия была реализована в сотрудничестве с Артином в начале 1960-х, во времена SGA, см. « Как будто призванные из пустоты» Джексона :

Когда Гротендик приехал в Гарвард в 1961 году, «я попросил его дать мне определение этальных когомологий», — со смехом вспоминал Артин. Определение еще не было точно сформулировано. всю осень". После переезда в Массачусетский технологический институт в 1962 году Артин провел семинар по этальным когомологиям. Он провел большую часть следующих двух лет в IHÉS, работая с Гротендиком" .

С сайта Милна :

Во французском языке есть два разных слова: «étaler», что означает «растянутый или выставленный напоказ» и используется в «éspace étalé», и «étale», что встречается редко, за исключением поэзии. Согласно Иллюзии, это второй вариант, выбранный Гротендиком для этального морфизма. «Petit Larousse» определяет «mer étale» как «mer qui ne monte ni ne down», т. е. море в момент прилива или отлива. Например, есть цитата из Гюго, которую я включил в свою книгу «La mer était étale, mais le reflux commencait a se sentir». Я думаю, что Гротендик выбрал это слово, потому что то, как он изобразил этальные морфизмы, напомнило ему спокойное море во время прилива под полной луной (локально почти параллельные полосы света, но не глобально). Я нахожу этот образ красивым. В примечании к Красной книге Мамфорда по алгебраической геометрии говорится:

Милн также связал это изображение

Математическая терминология «этале» [распространенная] использовалась Гротендиком в его статье Тохоку 1957 года и уже существовала в то время.

Гротендик, А. (1959). Техника происхождения и теории существования в геометрической алгебре. I. Генералитет. Descente par morphismes fidèlement plats. Семинар Бурбаки, 5, 299-327.

содержит отрывок

...$f[:T \to S]$est dit étale ou encore$f$est appelé un étalement, ou$T$est dit etalé sur$S$...

Из этого следует, что Гротендик хотел найти прилагательное для карты, домен которой$T$эталон закончился$S$, и выбрал прилагательное étale [спокойный, вялый, тихий] из-за его формального сходства с etalé. Это осуществимо, поскольку значение étale оказывается разумно применимым.

Основная картина, которую следует иметь в виду, — это то, как многообразие описывается в терминах атласа. Это более или менее точно такой же атлас, который можно было увидеть в книге до того, как появились технологии и сделали это за нас.

Напомним, что каждая страница атласа охватывает часть описываемого ландшафта, и, кроме того, на четырех сторонах каждой страницы есть области, пересекающиеся с другими страницами. Сопоставление этих наложений на атласе описывает весь ландшафт.

Гротендик воспринял это описание атласа как новое описание топологии, так называемой топологии Гротендика, которая была достаточно гибкой, чтобы описывать обобщения многообразий в контекстах, где классическое описание неприменимо.

Термин «этал» происходит от этого описания. Представьте пейзаж и каждую страницу атласа над пейзажем, тогда они лежат «плоско» и «расстилаются» по ландшафту». На самом деле, то, что нужно сделать, это взять непересекающееся объединение всех этих страниц, и к нему применима та же самая картина, оно (а не «они», поскольку мы склеили страницы непересекающимся образом) лежит «плоско» и «развернуто». Отсюда термин этальный морфизм, морфизм, лежащий плоско и распространяющийся по пространству.

Другой способ взглянуть на ту же картину — рассмотреть покрывающие пространства. Здесь крышка лежит плоско и «расползается» по основанию. Понятие этального морфизма является его обобщением. Обширное обобщение, но тем не менее обобщение.