Интуитивное объяснение

Предположим, вы просверлили два перпендикулярных отверстия через центр Земли. Вы опускаете объект через один, затем опускаете объект через другой точно в тот момент, когда первый объект проходит через центр.

Теперь у вас есть два объекта, колеблющихся только в одном измерении, но в квадратуре. То есть, если бы мы построили высоту каждого объекта, это было бы что-то вроде$\sin(t)$а другой был бы$\cos(t)$.

Теперь рассмотрим движение по круговой орбите, но подумайте о движении влево-вправо и движении вверх-вниз отдельно. Вы увидите, что он делает то же самое, что и два ваших объекта, падающих через центр Земли, но он делает это одновременно.

источник изображения

предостережение: важным предположением здесь является то, что Земля имеет однородную плотность и идеальную сферическую симметрию, а орбита без трения находится прямо у поверхности. Конечно, все эти вещи являются значительными отклонениями от реальности.

Математическое доказательство

Рассмотрим просто вертикальное ускорение двух точек, одной внутри планеты и другой на поверхности, на равном расстоянии по вертикали ($h$) от центра планеты:

• $R$это радиус планеты
• $g$ускорение свободного падения на поверхности
• $a_p$а также$a_q$просто вертикальные компоненты ускорения в каждой точке

Если мы сможем продемонстрировать, что эти вертикальные ускорения равны, то мы продемонстрируем, что различные горизонтальные положения не имеют отношения к вертикальному движению точек. Тогда мы сможем свободно думать о вертикальном и горизонтальном движении независимо друг от друга, как в интуитивном объяснении.

Расчет$a_q$простая тригонометрия. Он находится на поверхности, поэтому величина его ускорения должна быть$g$. Просто вертикальная составляющая просто:

Если вы прорабатывали задачу «сбрасывание предмета через туннель в Земле» , то вы уже знаете, что в случае$p$, его ускорение линейно убывает с удалением от центра планеты (поэтому важно предположение о «равномерной плотности»):

$h$равно для наших двух точек, и его нахождение снова является простой тригонометрией:

Так:

КЭД

Это также дает некоторое представление о печальном последствии: этот метод может быть применен только к орбитам на поверхности планеты или внутри нее. За пределами планеты,$p$больше не испытывает ускорение, пропорциональное расстоянию от центра масс ($a_p \propto h$), но пропорциональна обратному квадрату расстояния ($a_p \propto 1/h^2$), согласно закону всемирного тяготения Ньютона .

Ответ Фила, хотя и прекрасно иллюстрирован, немного неполный. Он основан на том факте, что в случае с туннелем вы решаете одномерную проекцию низкоорбитального спутника, но не доказывает этого. Я делаю это ниже. Сила, приложенная к объекту для сферы однородной плотности , на самом деле равна:

Где$k = \frac{mg}{R_{earth}}$. Это эквивалентно задаче о пружине, решение которой действительно будет синусоидальным с периодом$2 \pi \sqrt{\frac{R_{earth}}{g}}$, то же, что и период низкой околоземной орбиты. Опять же, хотя ответ Фила иллюстрирует это, на самом деле он этого не доказывает. В частности, он упускает из виду важный факт, что это справедливо только для сферы с одинаковой плотностью .

Альтернативное объяснение (которое действительно совпадает с ответом @Phil): согласно законам Кеплера , орбита представляет собой эллипс, а период обращения пропорционален большой полуоси эллипса.

Спутник на самой низкой орбите будет пытаться следовать особому типу эллипса (а именно, кругу), большая полуось которого на самом деле является радиусом Земли (это «самая низкая орбита», потому что спутник касается земли — мы игнорируем атмосфера здесь).

Колебания в дыре на самом деле представляют собой другую орбиту — это вырожденный эллипс, сплющенный до прямой. Тем не менее, его большая полуось по-прежнему является радиусом Земли.

Та же большая полуось, следовательно, тот же период.

Редактировать: как было указано, это расширение является поддельным двумя способами:

• Вырожденным случаем «сплющенного» эллипса будет половинный диаметр. Если бы весь вес Земли был сосредоточен в ее центре, орбита, начинающаяся с уровня «земли» (примерно 6300 км от центра) с (почти) отсутствием боковой скорости, была бы ускоренным падением к центру; находясь близко к центру, объект промахивался бы мимо него «всего в нескольких дюймах» и быстро обегал бы его, прежде чем вернуться в исходное положение на уровне земли. Кроме того, этот «сплющенный эллипс» будет иметь большую полуось длиной около 3150 км (половина радиуса) за период, который будет в восемь раз меньше, чем у низкой орбиты.

• Вес Земли не сосредоточен в ее центре. На самом деле вы получаете траекторию «осциллятора», которая позволяет вам появиться в Новой Зеландии, если вы начали из Англии, именно потому, что модель «Земная масса в одной точке» не используется в этом мысленном эксперименте.

Хотя понятно, что низкая орбита и осциллятор заканчиваются периодами одинаковой величины (оба они являются своего рода «свободным падением» на Землю с одинаковым весом и начинаются с уровня земли), это замечание машущего рукой было бы были в равной степени применимы с периодом генератора, вдвое или вдвое меньшим, чем у низкой орбиты. Кажется, они оказываются довольно близко друг к другу, и теперь я понятия не имею, является ли это простым совпадением или по какой-то фундаментальной причине.

Мой вопрос: почему эти два периода (колебания через Землю и НОО) совпадают? Я уверен, что есть какая-то фундаментальная физическая причина, которую я здесь упускаю. Помощь.

Это результат (ошибочного) предположения об однородной плотности Земли. Земля — это что угодно, только не объект постоянной плотности. Ядро Земли в пять раз плотнее, чем поверхностные породы. Гравитационное ускорение достигает максимума более 10 м/с ² на границе ядра и мантии, что чуть меньше половины пути к центру Земли. Модель однородной плотности подразумевает, что гравитационное ускорение составляет примерно половину поверхностного значения на этой глубине.

Лучшей моделью Земли является предположение, что ускорение под действием силы тяжести составляет постоянную величину 10 м/с ² от поверхности до половины пути к центру Земли, а затем линейно падает до нуля в центре Земли. Это дает период 76,41 минуты, а не 84,3 минуты на орбите 6371 км (очевидно, без учета сопротивления воздуха).

Еще лучшей моделью является использование численного интегрирования с Предварительной эталонной моделью Земли ( А. Дзиевонски и Д. Андерсон (1981), «Предварительная эталонная модель Земли», Physics of the Earth and planetary inners 25:4, 297-356. ( табличные данные на http://geophysics.ou.edu/solid_earth/prem.html )). Это дает период 76,38 минут, что очень близко к простой модели, описанной выше.

Аргумент Фила Фроста в его ответе (v4) верен. Предполагая сферическую Землю с постоянной плотностью$\rho$(и предположив для простоты, что объект по какой-то причине может свободно перемещаться$^1$через Землю, чтобы не было сопротивления воздуха, и чтобы мы могли пропустить бурение туннелей и не беспокоиться о том, что вращение Земли может прижать объект к стене туннеля; и предполагая, что мы используем геоцентрированную инерциальную ( ECI ) систему координат, так что нет фиктивных сил; и т. д.), то определяющее трехмерное ОДУ с векторным знаком (выведенное из законов Ньютона ) равно

Этот ODE (1) разделяется на три независимых SHO для$x$,$y$а также$z$координаты с общим характерным периодом

В частности, для произвольной траектории с$|{\bf r}|\leq R$(= радиус сферической Земли), период не зависит от начального положения и начальной скорости.

--

$^1$Точнее: свободно двигаться вне гравитации.