Движение, описываемое a=kx2a=kx2a=\frac{k}{x^2}

Скажем, частица в одном измерении испытывает ускорение, обратно пропорциональное квадрату смещения. Каково его перемещение в зависимости от времени?

а "=" г 2 Икс г т 2 "=" к Икс 2 нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка, по-видимому

Для контекста частица может гравитационно притягиваться к фиксированной массе. м , в котором к было бы г м , где г — гравитационная постоянная.

Я не могу найти решение этой, казалось бы, простой проблемы. Является Икс ( т ) очень сложный? Как насчет в ( т ) , или а ( т ) ? Какие из них могут быть выражены просто через т ?

PS Кажется, что ускорение частицы было бы бесконечным, когда Икс "=" 0 , но только на бесконечно малое мгновение. Означает ли это, что скорость достигает бесконечности или достигает максимума?

Будьте осторожны со своими знаками. В физической задаче при положительном x ускорение будет отрицательным и наоборот. В вашем уравнении нет такой функции.
Связано: physics.stackexchange.com/q/19388/2451 и ссылки в нем.

Ответы (1)

Сначала пусть а "=" г в г т , таким образом, мы имеем,

а "=" г в г т "=" к Икс 2

Теперь, используя цепное правило, г в г т "=" г в г Икс г Икс г т "=" в г в г Икс

Поэтому,

в г в г Икс "=" к Икс 2

Реорганизация и интеграция дает,

∫ в   г в "=" ∫ к Икс 2 г Икс

и поэтому,

в 2 2 "=" − к Икс + С

Или,

в 2 "=" − 2 к Икс + С

для некоторой константы С зависит от начальных условий.

Я оставлю читателю простое упражнение, которое он сейчас установит. в "=" г Икс г т и решить для Икс ( т )

Они не смогут решить для Икс ( т ) ; лучшее, что мы можем получить, — это аппроксимация или нелинейное алгебраическое соотношение, включающее Икс ( т ) и т .
@JamalS Что ж, у меня есть решение, но для него нет полей.
@Mew Не могли бы вы поделиться своим прогрессом? Считайте меня неспособным…
@Мью Это неправильно. Здесь есть аналитическое решение, доступное , если вы не поленитесь его поискать.
@EmilioPisanty, окей, тогда мой ответ остается там, где я оставляю это в качестве упражнения для читателя :)
Движение, описываемое a=kx2a=kx2a=\frac{k}{x^2}
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v