Почему граничные условия делают вариационный принцип нечетким?

Если у нас есть неисчезающие граничные члены, то отображение$\lambda \mapsto I[\Phi_\lambda^i]$не дифференцируема в следующем смысле. Используя несколько менее сложные обозначения, пусть

$$I[\Phi^i_\lambda:\eta] := \int_{\mathcal M} \mathcal L\left(\Phi^i_0(x)+\lambda\cdot \eta(x),\partial\Phi_0^i(x)+\lambda\cdot\partial\eta(x)\right) d^4x$$

для произвольной дифференцируемой функции$\eta$. Это отображение заведомо дифференцируемо, и мы находим, что

$$\left.\frac{d}{d\lambda}I[\Phi^i_\lambda:\eta]\right|_{\lambda=0} = \int_{\mathcal M}\left(\frac{\partial \mathcal L}{\partial \Phi_0^i}-\partial_\mu \left[\frac{\partial \mathcal L}{\partial(\partial_\mu \Phi_0^i)}\right]\right)\cdot \eta(x) \ d^4x+ \oint_{\partial\mathcal M} n_\mu\frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial_\mu \Phi_0^i)}\eta(x) \ dS$$

где$n_\mu$являются компонентами вектора нормали к поверхности. Это дифференцируемость по Гато . Однако эта производная Гато в общем случае зависит от того, какой$\eta$мы выбираем.

Конечная цель состоит в том, чтобы потребовать, чтобы изменение функционала действия обращалось в нуль независимо от нашего выбора.$\eta$. Если предположить, что граничный член равен нулю, это означает, что

$$\int_{\mathcal M}E[\Phi_0^i]\eta(x) d^4x = 0 \implies E[\Phi_0^i] = 0$$

Однако при наличии граничных членов такая импликация невозможна. Для любой конкретной конфигурации поля изменение интеграла действия становится

$$\left.\frac{d}{d\lambda}I[\Phi^i_\lambda:\eta]\right|_{\lambda=0} = \int_{\mathcal M} f(x) \eta(x) d^4x + \oint_{\partial \mathcal M} n_\mu g^\mu(x)\eta(x) dS$$

Чтобы это исчезло для произвольного$\eta$, либо оба интеграла должны обращаться в нуль, либо они должны компенсировать друг друга. В первом случае граничные члены все-таки отсутствуют, а во втором случае фактически не работает. Чтобы увидеть это, представьте, что

$$\int_{\mathcal M} f(x) \eta(x) d^4x =- \oint_{\partial \mathcal M} n_\mu g^\mu(x)\eta(x) dS = C \neq 0$$

для некоторого выбора$\eta$, и обратите внимание, что мы всегда можем добавить к$\eta$гладкая функция, которая обращается в нуль на границе, но имеет носитель в любой выбранной нами области объема. Это изменит первый интеграл, но не второй, тем самым нарушив равенство. Следовательно, хотя два интеграла могут сократиться для некоторых вариантов выбора$\eta$, они не могут отменить для всех вариантов$\eta$(опять же, если они оба не исчезают в первую очередь).

Еще хуже в определенном смысле то, что наличие ненулевых граничных членов предполагает, по причинам, которые непосредственно вытекают из приведенных выше, что вариация может принимать любое значение в$\mathbb R$соответствующим масштабированием$\eta$.

Можно думать об этом как об аналогии с многомерным исчислением. Существование частных (Гато) производных некоторой функции (функционала действия) по какому-либо конкретному направлению (при произвольном выборе$\eta$) недостаточно, чтобы гарантировать дифференцируемость отображения. В этом случае, с прицелом на нашу конечную цель получить исчезающую функциональную производную, которая не зависит от$\eta$, назовем функционал дифференцируемым, если его производную Фреше можно представить в виде

$$\left.\frac{d}{d\lambda}I[\Phi^i_\lambda:\eta]\right|_{\lambda=0} = \int_{\mathcal M} E[\Phi_0^i] \ \eta(x) d^4x$$

и определим его функциональную производную как$E[\Phi_0^i]$.

---

Я хотел бы сделать небольшое замечание по вашему заявлению

Я не понимаю, как присутствие$\Theta$мешает нам определить $E_i$как функциональные производные.

В том, что вы говорите, есть большая доля правды. В самом деле, если все, что вам нужно, это уравнения Эйлера-Лагранжа для поля, то вы могли бы утверждать, что правильный формальный рецепт состоит в том, чтобы варьировать действие, отбрасывать любые граничные члены , а затем требовать, чтобы вариация исчезла. Это кажется немного неэлегантным, но это даст вам уравнения, которые вы ищете.

Однако при переходе к гамильтоновой структуре возникают проблемы. Неоднозначность граничных терминов приводит к неоднозначности при попытке определить, например, понятия полной энергии конкретного пространства-времени. В отсутствие поверхностных членов гамильтониан обращается в нуль при$g_{ij}, \pi^{ij}$которые подчиняются уравнениям движения; выбор граничного члена сводится к выбору значения интеграла гамильтониана по всему пространству-времени, а член GHY дает энергию ADM.

Такие граничные условия, по-видимому, также очень важны для квантовой гравитации, но это область, с которой я совершенно не знаком, поэтому я не могу дать ей разумного комментария.

---

Позвольте мне кое-что спросить, вы говорите: «Однако при наличии граничных условий такое следствие невозможно». Если мы потребуем$\delta I[\Phi_0^i]=0$относительно любой вариации, то, в частности, это справедливо для компактно поддерживаемых$\eta(x)$. Это не означало бы

$$\int_{\mathcal M}E[\Phi_0^i] \eta(x) d^4x = 0$$ для всех компактно поддерживаемых$\eta(x)$и, в свою очередь, подразумевает$E[\Phi_0^i]=0$даже при наличии граничных условий? Что здесь не так?

Похоже, вы ослабляете требование, чтобы действие было стационарным при произвольных вариациях, до требования, чтобы действие было стационарным только при вариациях с компактной поддержкой. Если вы сделаете это, то вы вернете импликацию (и, следовательно, уравнения EL). Однако это означает, что вы сужаете пространство «кандидатных» конфигураций полей до тех, которые идентичны исходной на границе.

Если вас не интересует какая-либо временная эволюция на границе, то это нормально; в общем, это слишком ограничительно. Можно, например, представить себе комбинацию начальных условий и эволюционных уравнений, которая обязательно изменит поле на границе. Наложение фиксированных (Дирихле) граничных условий в дополнение к уравнениям эволюции и этому конкретному начальному условию вообще не привело бы к решениям.

Что еще хуже, в частном случае гравитации плотность Лагранжа фактически содержит вторые производные метрики в виде полной производной

$$\partial_\mu (h^{\mu\nu} \partial_\nu \Phi_0^i)$$ это возможность, которую я не рассматривал в работе, которую я сделал выше. В этом случае следует, что граничный член становится

$$\oint_{\partial M} n_\mu \big[g^\mu(x) \eta(x) + h^{\mu \nu}(x)\partial_\nu \eta(x)\big] dS$$

В этом случае было бы недостаточно зафиксировать вариацию на границе — нам также нужно было бы зафиксировать и ее производные. Это неприемлемо, так как сами уравнения движения второго порядка; исправление обоих$\Phi_0^i$и$\partial_\nu \Phi_0^i$на границе в целом переопределили бы систему, за исключением тех случайных случаев, когда$n_\mu h^{\mu\nu} \rightarrow 0$.

Вот один комментарий. Если мы адаптируем определение OP

$$\delta I[\Phi^i]=\int_M E_i \delta \Phi^i + \int_{\partial M}\Theta_i \delta \Phi^i\tag{4},$$
тогда для объемного срока$E_i$и пограничный срок$\Theta_i$чтобы быть однозначно определенными, мы должны для начала установить, что они не являются дифференциальными операторами ненулевого порядка (действующими на$\delta \Phi^i$), а просто функции (т.е. дифференциальные операторы нулевого порядка), потому что в противном случае мы могли бы использовать приемы а-ля интегрирование по частям, чтобы перераспределить то, что принадлежит объему, и то, что принадлежит границе. Для действия EH на многообразии с краем оказывается , что это невозможно без граничного члена GHY (из-за высших производных по пространству-времени в действии EH).

Я не полностью согласен ни с одним из ответов, поэтому вот еще один. Похоже, что вопросы ОП по существу сводятся к двум достаточно самостоятельным вопросам:

Вопрос 1: Каково определение функциональной производной действия и влияют ли на это определение граничные условия?

Вопрос 2. Что делает вариационный принцип корректным или неправильным и как на это влияют граничные условия?

---

I. О функциональной производной: мне не нравится понятие «функциональная производная», потому что в том виде, в каком оно встречается в большинстве текстов и публикаций по физике, оно не является строго определенным математическим объектом или оператором. Давайте тогда проведем различие между функциональной производной и оператором Эйлера-Лагранжа (оператор EL).

Предположим, что$X$гладкий$n$-многообразие,$\pi:Y\rightarrow X$является гладким расслоенным многообразием над$X$сечениями (возможно, локальными) являются поля, возникающие в вариационной задаче, и пусть$L:J^\infty(\pi)\rightarrow \Lambda^nX$быть лагранжианом$n$-форма. В этом ответе я хочу максимально избегать использования реактивных пространств, поэтому определение лагранжиана$n$-форма будет такой для каждой локальной секции $\phi\in\Gamma_\pi(U)$из$\pi$над$U\subseteq X$он ассоциируется с гладкой$n$-форма$L[\phi]\in\Omega^n(U)$над$U$и обладает тем свойством, что существует неотрицательное целое число$r\in\mathbb N$(так называемый порядок$L$) такое, что если два сечения$\phi,\psi$оба определены рядом$x$имеет те же производные до порядка включительно$r$в$x$(производные берутся по любой расслоенной карте расслоения$\pi$), затем$L[\phi]_x=L[\psi]_x$. Работая с расслоенной диаграммой, это позволяет нам написать знакомый

$$L[\phi]_x=\mathcal L(x,\phi(x),\phi_{(1)}(x),\dots,\phi_{(r)}(x))dx^1\wedge\dots\wedge dx^n$$ форма для лагранжиана$n$-форма. Тогда внешние производные являются полными внешними производными, т. е. они дифференцируются через функциональные зависимости поля$\phi$и его производные.

Тогда первая вариационная формула для лагранжиана имеет вид

$$\delta L[\phi,\delta\phi]=E(L)[\phi]\cdot\delta\phi+d\Theta[\phi,\delta\phi],$$ где вообще$E(L)[\phi]$порядок$2r$в$\phi$и алгебраический в$\delta\phi$(обозначается «точечной нотацией»), а$\Theta$порядок$2r-1$в$\phi$и заказать$r-1$и линейный по$\delta\phi$.

Эта формула верна и глобально, но если$r>2$и$n>1$то глобально существующее $\Theta$ $n-1$-форма строится не только из коэффициентов лагранжиана, она нуждается в некоторых дополнительных данных, таких как разбиение единицы или связь. Излишне говорить, что он не уникален. Оператор нулевого порядка$\delta\phi\mapsto E(L)\cdot\delta\phi$однако глобально определен и уникален. Мы называем$L\mapsto E(L)$оператор ЭЛ .

Заметим, что здесь вообще не нужны никакие граничные условия. Другой взгляд на вещи заключается в том, чтобы определить

$$E(L)=[\delta L]=\delta L\mod \text{exact terms}.$$ Получается, что каждый класс $[\delta L]$имеет единственного представителя, который является алгебраическим, а не дифференциальным, в вариации поля$\delta\phi$. Этот канонический представитель этого класса в точности $$E(L)\cdot\delta\phi=\sum_{k=0}^r(-1)^k d_{\mu_1}\dots d_{\mu_k}\frac{\partial\mathcal L}{\partial \phi^i_{,\mu_1...\mu_k}}\delta\phi^i d^nx.$$

Таким образом, это по существу согласуется с тем, что написал ОП, и на это также ссылается ответ Дж. Мюррея. Нет ничего плохого в том, чтобы определить оператор EL таким образом, и на самом деле так это делается (по крайней мере, в духе), например. теория вариационного бикомплекса .

Напротив, для подходящего понятия функциональной производной$\mathfrak d$мы хотели бы следующее:

1. Космос$\mathcal F:=\Gamma_\pi(X)$гладких сечений можно снабдить некоторой обобщенной дифференцируемой структурой.
2. Функционалы (т.е. в основном функции на$\mathcal F$) формы $$S[\phi]=\int_XL[\phi]$$ где$L$гладкий порядок$r$лагранжевы, гладкие.
3. Функциональная производная$\mathfrak d$является своего рода корректно определенным дифференциальным оператором над гладкими функциями на$\mathcal F$которые в некотором смысле воспроизводят оператор EL, например.$\mathfrak dS=0 \Leftrightarrow E(L)=0$, в любое время$S$является функционалом «действующего типа».
4. Функциональная производная в принципе может быть применена к функционалам более общим , чем функционалы действия, т. е. к тем, которые «менее локальны».

Это можно сделать, и я сделаю это в приложении в конце этого ответа. Однако это несколько тонко. Чтобы проиллюстрировать некоторые тонкости, пространство$\Gamma_\pi(X)$может быть пустым, т.е. расслоение$\pi$может не иметь глобальных разделов. Предыдущий «формальный» подход, давший нам определение EL-оператора, представляет собой локальную формулировку, которая по существу оперирует пучками (точнее, струями) сечений, поэтому, если множество глобальных сечений пусто, мы всегда можем ограничиться дополнительными. Менее очевидно, как учесть эту локальность в чисто функциональной постановке, поскольку функциональное пространство должно быть зафиксировано раз и навсегда. Кроме того, даже если существуют глобальные сечения, интеграл$S[\phi]=\int_X L[\phi]$может не сходиться, хотя как «формальный интеграл» (ср. формальный степенной ряд) он по-прежнему несет достоверную информацию.

Поскольку формальный подход работает без интегралов, это не проблема.

Дело в том, что ОП по существу верен с

Я не понимаю, как присутствие$\Theta$мешает нам определить$E_i$как функциональные производные.

хотя, по моему мнению, я бы заменил здесь термин «функциональная производная» на «оператор EL».

Тем не менее, в конце этого ответа будет дано строгое определение функциональной производной, которое, надеюсь, иллюстрирует, как граничные условия связаны с определением.

II. О правильности вариационных принципов: В этом разделе я буду иметь дело только с вариационной формулировкой обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Причина этого в том, что в отличие от ОДУ, где теорема существования и единственности Пикара-Линделёфа дает очень общий набор критериев корректности дифференциальных уравнений, системы частных дифференциальных уравнений не имеют аналогичных теорем, по крайней мере, тех, чья общность сравнима.

Итак, рассмотрим следующие данные:

1. Замкнутый и компактный интервал$I=[t_0,t_1]$.
2. Гладкий$n$-многообразие$Q$(конфигурационное пространство). Я хочу работать с координатами, поэтому предположим, что$Q\subseteq\mathbb R^n$является открытым множеством. Обобщение на случай, когда$Q$является более общим многообразием.
3. Гладкая функция Лагранжа $$L[q](t)=L(t,q(t),q_{(1)}(t),\dots,q_{(r)}(t))$$ порядка$r$.
4. Функциональное пространство$\mathcal F=C^\infty(I,Q)$гладких функций из$I$к$Q$.

Нам нужна общая формула первой вариации для лагранжиана. Это

$$\delta L=E_i\delta q^i+\frac{d}{dt}\left(\sum_{k=0}^{r-1}P^{(k+1)}_i\delta q^i_{(k)}\right),$$ где конечно$f_{(k)}=d^k f/dt^k$, а канонические импульсы равны $$P^{(k)}_i=\sum_{l=0}^{r-k}(-1)^l\frac{d^l}{dt^l}\frac{\partial L}{\partial q^i_{(k+l)}},\quad 1\le k\le r .$$ Обратите внимание, что официально продолжая$k=0$у нас есть$P^{(0)}_i=E_i$.

II. А. Граничные условия:

С вариационной задачей связаны два вида граничных условий: наложенные граничные условия и естественные граничные условия . Это всего лишь две крайности, на практике можно использовать их смесь.

Позволять

$$\mathcal B=\left\{a^i_0, a^i_1,\dots,a^i_{r-1},b^i_0,b^i_1,\dots,b^i_{r-1}\right\}$$ быть набором$2nr$числа, которые мы называем граничными условиями . Наложение граничных условий означает, что мы рассматриваем только те (гладкие) траектории$q:I\rightarrow Q$которые удовлетворяют $$q^i_{(k)}(t_0)=a^i_k,\quad q^i_{(k)}=b^i_k,\quad 0\le k\le r-1.$$ Позволять $$\mathcal F_{\mathcal B}=\{q\in \mathcal F:\ q \text{ satisfies the BCs }\mathcal B\}.$$

Таким образом, если граничные условия$\mathcal B$накладываются, рассмотрим вариационный принцип в редуцированном функциональном пространстве$\mathcal F_{\mathcal B}$. Поскольку мы варьируемся в этом классе, вариации траекторий гладкие и удовлетворяют

$$\delta q^i_{(k)}(t_0)=\delta q^i_{(k)}(t_1)=0,\quad 0\le k\le r-1.$$

Отсюда следует, что первый вариант действия есть

$$\delta S=\int_{t_0}^{t_1}E_i\delta q^i\,dt,$$ поскольку граничные члены исчезают из-за граничных условий. Отсюда условие стационарности$\delta S=0$приводит к дифференциальному уравнению$E_i[q]=0$.

Чтобы получить естественные граничные условия, вместо этого мы рассматриваем полное пространство$\mathcal F$как поле для вариационной задачи. Первый вариант действия становится

$$\delta S=\int_{t_0}^{t_1}E_i\delta q^i\,dt+\left.\sum_{k=0}^{r-1}P^{(k+1)}_i\delta q^i_{(k)}\right|_{t_0}^{t_1},$$ с ненулевыми граничными членами. Если$\delta S=0$должен быть действителен на некоторой траектории$q$для любого варианта$\delta q$, это также должно быть верно для тех вариантов, которые, например. удовлетворяют граничному условию$\mathcal B$или иметь поддержку строго в течение$I$, следовательно, уравнение ЭЛ$E_i[q]=0$надо еще применить. Однако, возвращая это в формулу первого варианта для действия, мы получаем чистый граничный член: $$\delta S[q]=\sum_{k=0}^{r-1}P^{(k+1)}_i[q](t_1)\delta q^i_{(k)}(t_1)-\sum_{k=0}^{r-1}P^{(k+1)}_i[q](t_0)\delta q^i_{(k)}(t_0).$$

Поскольку вариации и их производные в принципе могут принимать любое возможное значение на концах, мы получаем, что все коэффициенты должны обращаться в нуль отдельно друг от друга, следовательно

$$P^{(k)}_i(t_1)=P^{(k)}_i(t_0)=q,\quad 1\le k\le r.$$ Другими словами, канонические импульсы должны обращаться в нуль на концах. Это опять набор$2nr$граничные условия на функции$q^i(t)$, а поскольку они появились динамически, мы называем их «естественными».

II. B. Корректные вариационные принципы:

Общее определение корректной вариационной задачи следующее: Вариационный принцип$\delta S[q]=0$является корректным, если при соответствующих граничных условиях (наложенных или естественных) существует одна и только одна экстремаль действия.

Если лагранжиан$L$порядок$r$, имеется примерно три достаточных условия корректности вариационного принципа. Я не осмеливаюсь утверждать, что они также необходимы, так как я предполагаю, что даже если некоторые из них будут нарушены, могут произойти некоторые странные происшествия, но для большинства намерений и целей эти условия также необходимы:

1. Лагранжиан$L$должен быть регулярным, т. $$\det\left(\frac{\partial^2 L}{\partial q^i_{(r)}\partial q^j_{(r)}}\right)\neq 0$$ .
2. Уравнения ЭЛ$E_i[q]=0$порядок$2r$(на самом деле, 1. подразумевает это, но не наоборот).
3. Никаких «неудачных выборов данных конечной точки» не делается.

Пункт 3 здесь самый загадочный, но он будет раскрыт позже. Уравнения ЭЛ имеют вид

$$E_i[q]=(-1)^r\frac{\partial^2 L}{\partial q^i_{(r)}\partial q^j_{(r)}}q^j_{(2r)}+\text{Lower order terms},$$ таким образом, если выполняется условие 1. и матрица$W_{ij}=\frac{\partial^2 L}{\partial q^i_{(r)}\partial q^j_{(r)}}$обратимо, умножая на обратное, получаем $$q^i_{(2r)}=f^i(t,q,q_{(1)},\dots,q_{(2r-1)})$$ для уравнения EL, которое находится в стандартной форме, и применима теорема Пикара-Линделёфа (PL). Мы это знаем - когда-то в начальный раз$t_0$фиксировано, это уравнение имеет единственное решение при начальных положениях, скоростях, ускорениях, ...,$2r-1$-производные$q^i(t_0),q^i_{(1)}(t_0),\dots,q^i_{(2r-1)}(t_0)$указаны. Это$2nr$исходные данные.

Но мы видели, что количество граничных условий (наложенных или естественных) также$2nr$, поэтому с чисто «нумерологической» точки зрения граничные условия содержат достаточно данных, чтобы однозначно определить решение уравнения ЭЛ.

Однако вариационный принцип требует граничных условий, а PL-теорема требует начальных данных. «Большую часть времени» между ними существует биективная карта, но для «плохого» выбора конечных точек это соответствие может нарушиться. Типичным примером является гармонический осциллятор.

$$\ddot q+k^2q=0,$$ общее решение которого $$q(t)=c_1\cos(kt)+c_2\sin(kt),$$ где$c_1$и$c_2$может быть прямо связано с начальными условиями, например.$t=0$. Рассмотрим, однако, краевую задачу$q(0)=a,\ q(T)=b$в последний раз$T$. Отношения $$a=c_1,\quad b=c_1\cos(kT)+c_2\sin(kT),$$ что неразрешимо для$c_2$с точки зрения$a$и$b$когда$T=n\pi/k$для$n\in\mathbb Z$. Так, например, если мы выберем интервал$I=[0,\pi/k]$для области динамики вариационный принцип для гармонического осциллятора становится плохо определенным, даже если условия 1. (и, следовательно, 2.) выполняются.

С другой стороны, если все условия 1., 2. и 3. выполнены, то 1) уравнение EL имеет стандартную форму и, таким образом, применима теорема PL, 2) граничные условия (наложенные или естественные) дают точно$2nr$части данных для дифференциального уравнения, 3) эти данные могут быть биективно отображены в исходные данные, следовательно, существует единственная экстремаль для вариационной задачи, и, таким образом, вариационный принцип корректен.

II. C. Хорошо, но какое это имеет отношение к граничным терминам?

Начните с примера: лагранжиан

$$L=-\frac{1}{2}q\ddot q-\frac{1}{2}k^2q^2.$$ Это лагранжиан второго порядка для гармонического осциллятора. Его можно получить из обычного добавлением полной производной по времени. Вариант $$\delta L=-\left(\ddot q+k^2q\right)\delta q+\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}\dot q\delta q-\frac{1}{2}q\delta\dot q\right).$$ Предполагая интервал$I=[0,T]$и для простоты$T\neq n\pi/k$, наложенные граничные условия $$q(0)=a,\quad q(T)=b \\ \dot q(0)=a^\prime,\quad \dot q(T)=b^\prime,$$ где$a,a^\prime,b,b^\prime$являются независимыми данными. Это четыре части данных для уравнения второго порядка, поэтому, указав их соответствующим образом, можно создать неразрешимую систему. Поскольку теперь существуют граничные условия, для которых нет экстремалей, этот вариационный принцип уже не корректен.

Следует, однако, заметить, что «обычный» лагранжиан$L^\prime=\frac{1}{2}\dot q^2-\frac{1}{2}k^2q^2$дает корректную вариационную задачу, если$T\neq n\pi/k$. Кроме того, краевая задача, заданная естественными краевыми условиями на$L$на самом деле разрешима, хотя и дает тривиальное нулевое решение. Однако можно было бы легко состряпать лагранжиан для гармонического осциллятора, где даже естественные граничные условия плохи.

В более общем случае, если$L$это приказ$r$Лагранжиан с каноническими импульсами$P_i^{(k)}$($1\le k\le r$), а лагранжиан меняется как

$$L^\prime=L+\frac{df}{dt},$$ где$f$это приказ$r-1$функция (отсюда$L$и$L^\prime$имеют тот же порядок), то количество граничных условий не меняется, но канонические импульсы меняются как $$P^{\prime (k)}_i=P^{(k)}_i+\frac{\partial f}{\partial q^i_{(k-1)}}.$$ Можно было бы заметить, что налагаемые граничные условия являются гибкими (можно задавать произвольно), а естественные граничные условия — нет , т. е. они всегда таковы, что канонические импульсы должны обращаться в нуль на концах. Тогда возможность настройки естественных граничных условий появляется в преобразовании эквивалентности$L^\prime=L+df/dt$, что затем позволяет задать естественные граничные условия произвольно.

Однако преобразование$L^\prime=L+df/dt$также сохраняет уравнения EL, если сказать$L$порядок$r$но$f$порядок$s-1$с$s>r$. То теперь$L^\prime$является лагранжианом порядка$s>r$и поставляется с$2ns>2nr$граничные условия, но уравнения ЭЛ по-прежнему имеют порядок$2r$и поэтому требуют$2nr$фрагменты данных. Получаемые таким образом дополнительные краевые условия по существу произвольны и переопределяют краевую задачу. Поэтому, если порядок$s$лагранжиана, от которого порядок$2r$получается такое уравнение, что$2s>2r$, то этот вариационный принцип заведомо некорректен, так как существуют граничные условия (в том числе и естественные), которым не соответствует ни одна экстремаль.

Наконец, вопрос ОП

Так почему же граничные условия делают вариационный принцип нечетким? Другими словами, почему хорошо определенный вариационный принцип требует$\delta I[\phi]$быть в форме$\delta I[\phi]=\int(\text{something})\delta\phi$как утверждают авторы статьи?

можно ответить: Строго говоря, нет необходимости, чтобы вариация имела вид$\delta S[\phi]=\int(\dots)\cdot\delta\phi$чтобы вариационный принцип был четко определен, поскольку любые оставшиеся граничные условия просто становятся естественными граничными условиями. Однако если естественные граничные условия сами по себе не подходят (например, их слишком много), то это может привести к плохо определенному вариационному принципу.

II. D. Калибровочные симметрии, системы PDE и все такое прочее:

Я не хочу вдаваться в подробности, но для систем, которые не удовлетворяют$\det(W_{ij})\neq 0$или PDE, приведенный выше анализ намного сложнее.

Условие сингулярности$\det(W_{ij})=0$сигнализирует о наличии калибровочных симметрий, т. е. общее решение системы содержит произвольные функции времени, таким образом, вариационный принцип и любая возможная начальная или краевая задача плохо определены, поскольку любое заданное решение всегда может быть калибровочно преобразовано в новое решение, которое сохраняет начальную или краевую задачу. Чтобы справиться с этими случаями, необходимо использовать какую-то схему редукции (фиксация калибровки, процесс Дирака-Бергмана, симплектическая редукция, BV/BRST и т. д.), чтобы существенно переформулировать задачу без калибровочных симметрий.

Для систем в частных производных ближайшим аналогом теоремы PL является теорема Коши-Ковалевской, но она работает только для эволюционных систем с аналитическими коэффициентами. Таким образом, приведенный выше анализ часто также применяется к теориям поля по аналогии, но для получения точных результатов необходим анализ в каждом конкретном случае.

Приложение. Строгая модель функциональных производных:

Мы используем формулировку диффеологических пространств (хорошим источником для этого является книга Патрика Иглесиаса-Земмура ). Я излагаю здесь только основы. Для$p\in\mathbb N$а$p$-домен является открытым подмножеством$U$из$\mathbb R^p$. Тогда домен _$p$-домен для некоторых$p$. Учитывая набор$Z$а$p$-параметризация _$Z$это заданная карта$\varphi:U\rightarrow Z$, где$U$это$p$-домен и параметризация$Z$это$p$-параметризация для некоторых$p$.

Диффеология на _$Z$это коллекция$\mathscr D$параметризаций, называемых графиками , удовлетворяющими следующим аксиомам:

1. Покрытие : Каждая постоянная параметризация — это сюжет.
2. Населенный пункт : если$\varphi:U\rightarrow Z$есть такая параметризация, что в некоторой окрестности каждого$r\in U$ограничение на эту окрестность является сюжетом, то$\varphi$сюжет.
3. Гладкая совместимость : если$\varphi:U\rightarrow Z$это сюжет и$f:V\rightarrow U$гладкое отображение ($V$тоже домен) тогда$\varphi\circ f$тоже сюжет.

Затем пара$(Z,\mathscr D)$является диффеологическим пространством , но сократит его до$Z$если диффеология ясна из контекста. Данные диффеологические пространства$Z,W$карта$\phi:Z\rightarrow W$является гладким, если для любого графика$\varphi:U\rightarrow Z$, карта$\phi\circ\varphi:V\rightarrow W$тоже сюжет. Диффеологические пространства круты, потому что категория$\mathsf{Diff}$объектами которого являются диффеологическое пространство и чьи морфизмы являются гладкими отображениями, в основном замкнуто относительно любого множества или категориальной операции под солнцем (суммы, произведения, частные, пространства отображения/экспоненты, пределы, копределы и т. д.).

Дифференциал$k$- форма на$Z$правило, которое к каждому участку$\varphi:U\rightarrow Z$он ассоциируется с обычным гладким$k$-форма$\omega[\varphi]\in\Omega^k(U)$на области построения такой, что для любой гладкой карты$f:V\rightarrow U$($V$тоже домен)

$$\omega[\varphi\circ f]=f^\ast\omega[\varphi].$$ Тогда внешний продукт, внешняя производная и обратный образ дифференциальных форм определяются естественным образом, и все они обладают обычными свойствами (за счет того, что они коммутируют с оценками на графиках).

Нам нужно еще несколько вещей о диффеологических пространствах:

• D -топология на$Z$— это наилучшая топология, делающая все графики непрерывными.

• Диффеологическое пространство связно (относительно D-топологии) тогда и только тогда, когда оно гладко линейно связно, т. е. любые две точки можно соединить гладкой кривой.

• Если$\omega\in\Omega^k(Z)$является дифференциалом$k$- форма, то$\omega=0$если и только если$\omega[\varphi]=0$для любого$k$-сюжет$\varphi$(иными словами, дифференциальные формы однозначно определяются$k$- участки).

---

Вместо того, чтобы работать с общими расслоенными многообразиями, давайте рассмотрим упрощенную модель, которая делает некоторые вещи более прозрачными. Позволять$X\subseteq\mathbb R^n$быть$n$размерное компактное подмногообразие с краем$\mathbb R^n$и разреши$Y\subseteq\mathbb R^m$быть выпуклым открытым подмножеством.

Рассмотрим функциональное пространство

$$\mathcal F=C^\infty(X,Y)$$ гладких карт из$X$к$Y$. Мы диффеологизируем$\mathcal F$множеством способов.

• Стандартная функциональная диффеология определяется следующим образом. Данный$U\subseteq\mathbb R^p$а$p$-домен карты$\varphi:U\rightarrow \mathcal F$является сюжетом тогда и только тогда, когда совместная карта$\varphi:U\times X\rightarrow Y,\ (s,x)\mapsto\varphi(s)(x)$гладкий.
• Исправить номер$r\in\mathbb N\cup\{\infty,\omega\}$. Параметризация$\varphi:U\rightarrow\mathcal F$представляет собой график вариационной диффеологии порядка$r$если 1)$\varphi$представляет собой график стандартной функциональной диффеологии, 2) функция сустава$\varphi(s)(x)$такова, что (для$0\le r<\infty$) для каждого$0\le k\le r$производные $$\frac{\partial^k\varphi^i}{\partial x^{\mu_1}...\partial x^{\mu_k}}(s)(x)$$ являются постоянными функциями$s\in U$когда$x\in \partial X$является пограничной точкой. Это определение работает и для$r=\infty$в том смысле, что ему должны удовлетворять все частные производные.
• Для$r=\omega$вместо этого определение состоит в том, что граница$\partial X$имеет некоторое соседство$N\subseteq X$такой, что$\varphi(s)(x)$является постоянной функцией$s$когда$x\in N$.

На$\mathbb N\cup\{\infty,\omega\}$установить порядок$n<\infty<\omega$для любого$n\in\mathbb N$.

Как и прежде, функция$S:\mathcal F\rightarrow\mathbb R$является действием, если существует лагранжиан конечного порядка$L[\phi]$на$X$связан с$\mathcal F$такой, что

$$S[\phi]=\int_X L[\phi]=\int_X dx\,\mathcal L(x,\phi(x),\dots,\phi_{(r)}(x)),$$ где здесь$dx=d^nx$. Этот интеграл сходится, потому что$X$компактен. Если$L$порядок$r$, то функция действия$S$также говорят, что это порядок$r$. Затем:

1. функция типа действия$S$заданный гладким лагранжианом, является гладким относительно стандартной функциональной диффеологии и всех вариационных диффеологий на$\mathcal F$;
2. если$S$это приказ$r$функционал типа действия, и$\mathcal F$оснащен вариационной диффеологией порядка$k\ge r-1$, то его внешняя производная может быть отождествлена ​​с обычной функциональной производной .

Мы специально проверяем этот последний пункт в заказе$r$функция типа действия. Чтобы отличить внешнюю производную на$\mathcal F$и на любом домене$U$от дифференциалов на$X$, мы используем$\mathfrak d$для бывшего. Внешняя производная$\mathfrak dS$является четко определенным$1$- форма на$\mathcal F$поэтому достаточно оценить его на$1$-сюжет. На любой$1$-сюжет$s\mapsto\varphi(s)=\phi_s$у нас есть

$$\mathfrak dS[\phi_s]=\frac{\partial S[\phi_s]}{\partial s}\mathfrak ds=\left[\int_X dx\,\sum_{k=0}^r\frac{\partial \mathcal L}{\partial\phi^i_{,\mu_1...\mu_k}}[\phi_s]\partial_{\mu_1}\dots\partial_{\mu_k}\frac{\partial\phi^i_s}{\partial s}\right]\mathfrak ds \\ =\left[\int_X dx\,\sum_{k=0}^{r}(-1)^k d_{\mu_1}...d_{\mu_k}\frac{\partial\mathcal L}{\partial \phi^i_{,\mu_1...\mu_k}}[\phi_s]\frac{\partial\phi^i_s}{\partial s}+\int_{\partial X}(dx)_\mu\sum_{k=0}^{r-1}P^{\mu\mu_1...\mu_k}_i[\phi_s]\partial_{\mu_1}\dots\partial_{\mu_k}\frac{\partial\phi_s^i}{\partial s}\right]\mathfrak ds.$$ Мы можем написать $$\partial_{\mu_1}\dots\partial_{\mu_k}\frac{\partial\phi^i_s}{\partial s}=\frac{\partial}{\partial s}\left(\partial_{\mu_1}\dots\partial_{\mu_k}\phi^i_s\right)$$ и по определению вариационной диффеологии (при условии, что порядок диффеологии не ниже$r-1$), эти функции обращаются в нуль на$\partial X$, поэтому граничные члены равны нулю, и мы получаем $$\mathfrak dS[\phi_s]=\left[\int_X dx\,E_i[\phi_s]\frac{\partial\phi^i_s}{\partial s}\right]\mathfrak ds,$$ который действительно содержит ту же информацию, что и функционал/производная EL в обычном смысле.

Итак, если мы оборудуем$\mathcal F$с вариационной диффеологией порядка$\infty$или$\omega$, то все функционалы типа действия дифференцируемы, а внешняя производная в основном является функциональной производной. Космос$\mathcal F$по-прежнему содержит все гладкие функции из$X$к$Y$, поэтому никаких граничных условий накладывать не пришлось, а функциональная производная, тем не менее, корректно определена и имеет классический вид.

Однако граничные ограничения по-прежнему закодированы в пространстве через его диффеологию. При предположениях, сделанных на$Y$например. его выпуклости (что, строго говоря, не является необходимым, но упрощает доказательство), находим следующие факты о связности пространства$\mathcal F$.

Во-первых, предположим, что$\mathcal F$оснащен вариатором$r$-диффеология ($r\in\mathbb N\cup\{\infty,\omega\}$). Два поля$\phi,\psi\in\mathcal F$являются$b$-эквивалентно , если для каждого$x\in\partial X$правда, что

$$\partial_{\mu_1}\dots\partial_{\mu_k}\phi^i(x)=\partial_{\mu_1}\dots\partial_{\mu_k}\psi^i(x),\quad 0\le k\le r,$$ и для$\omega$-диффеология вместо состояния$b$-эквивалентность состоит в том, что существует окрестность границы$\partial X$на что они соглашаются. Позволять$b\phi$обозначают класс эквивалентности, которому$\phi$принадлежит под$b$-эквивалентность.

Затем:

1. Если$\mathcal F$оснащен стандартной функциональной диффеологией, пространство$\mathcal F$подключен.
2. Если$\mathcal F$оснащен вариатором$r$-диффеология ($r\in\mathbb N\cup\{\infty,\omega\}$) затем$\mathcal F$отключен, а подключенные компоненты$\mathcal F$находятся в биекции с множеством всех$b$-классы эквивалентности$b\phi$.

[Я мог бы привести доказательства этого позже, но это просто, и я устал]

Чистый эффект этого заключается в том, что по существу

$$\mathcal F=\bigcup_{b\phi}\mathcal F_{b\phi}$$ представляет собой объединение компонент связности такое, что каждый элемент$\mathcal F_{b\phi}$представляет собой набор полей, удовлетворяющих соответствующим заданным граничным условиям (которые могут отличаться от обычных наложенных/естественных ГУ, в частности граничному условию, соответствующему$\omega$-диффеология несколько иная).

Это также оказывает некоторое влияние на свойства точности дифференциала.$\mathfrak d$. Например, для диффеологических пространств также верно, что если гладкая функция замкнута (т.е.$\mathfrak df=0$), то она локально постоянна, т.е. постоянной на каждой связной составляющей в отдельности.

Из вариационного исчисления известно, что на функции типа действия$S$,$\mathfrak dS=0$это не значит, что$S$постоянна, а не (при условии, что$X$и$Y$стягиваемы), что его подынтегральная функция (лагранжиан) является полной дивергенцией, поэтому значения$S$определяются значениями, которые поле и ряд его производных принимают на границе. Тот же результат получается из приведенного выше анализа качественно, так как если$\mathfrak d S=0$затем$S$должен быть постоянным на каждой связной компоненте$\mathfrak F_{b\phi}$отдельно и (предположим$\infty$или$\omega$диффеологии) как пространства$\mathcal F_{b\phi}$задаются граничными значениями полей в этом компоненте, это показывает, что$S[\phi]$(для$\mathfrak d S=0$) факторы через класс$b\phi$как и ожидалось.

---

Из этого Приложения следует вынести одну вещь: функциональные производные в вариационном исчислении можно сделать четко определенными независимо от любого набора граничных условий, наложенных на поля, или любых поверхностных членов, которые появляются в действии, однако в строгой структуре, граничные условия существенным образом появляются в самом определении гладкости и влияют на топологические свойства функционального пространства.